Quantenmechanik; Sakurai; Unendlich kleine Übersetzung

Question

Quantenmechanik; Sakurai; Unendlich kleine Übersetzung

Astronaut Marbini

Das Folgende ist ein Abschnitt aus Sakurais Buch „Moderne Quantenmechanik“, in dem er den Übersetzungsoperator erklärt $J$ Kommutierung mit Positionsoperator $\hat{x}$ auf dem Unterraum $|x' \rangle$ :

Wie funktioniert die Annäherung? Ich habe es schon mit der Taylor-Serie versucht, bin aber gescheitert.

Benutzer245141

Es sollte mit Taylor-Reihen funktionieren.

| x^{'} + d x^{'} ⟩ = | x^{'} ⟩ + d x^{'} \partial_{x^{'}} | x^{'} ⟩ + O (d x^{' 2})

$|x'+dx'\rangle = |x'\rangle + dx' \partial_{x'}|x'\rangle + O(dx'^2)$ und dann multiplizierst du mit

d x^{'}

$dx'$

Astronaut Marbini

Bedeutet es, dass es an der Stelle ausgewertet wird

x^{'} - d x^{'}

$x' - dx'$ ? Wird das Ket als Funktion betrachtet?

Benutzer245141

warum irgendwann

| x^{'} - d x^{'} ⟩

$|x'-dx'\rangle$ ? es wird mit bewertet

| x^{'} ⟩

$|x'\rangle$ . Der Ket wird als Funktion von angesehen

x^{'}

$x'$ , in dem Sinne, dass wir eine Ableitung standardmäßig definieren können:

d | x ⟩ / d x = lim_{h \to 0} (| x + h ⟩ - | x ⟩) / h

$d|x\rangle/dx = \lim_{h\to 0} (|x+h\rangle-|x\rangle)/h$ . Beachten Sie, dass als

| x^{'} ⟩

$|x'\rangle$ in unserem Hilbert-Raum befinden, haben wir wohldefinierte Additions- und Subtraktionsoperationen und auch Multiplikationen mit Skalaren.

Antworten (1)

Quantenmechanik; Sakurai; Unendlich kleine Übersetzung

Es sollte mit Taylor-Reihen funktionieren. $|x'+dx'\rangle = |x'\rangle + dx' \partial_{x'}|x'\rangle + O(dx'^2)$ und dann multiplizierst du mit $dx'$
Bedeutet es, dass es an der Stelle ausgewertet wird $x' - dx'$ ? Wird das Ket als Funktion betrachtet?
warum irgendwann $|x'-dx'\rangle$ ? es wird mit bewertet $|x'\rangle$ . Der Ket wird als Funktion von angesehen $x'$ , in dem Sinne, dass wir eine Ableitung standardmäßig definieren können: $d|x\rangle/dx = \lim_{h\to 0} (|x+h\rangle-|x\rangle)/h$ . Beachten Sie, dass als $|x'\rangle$ in unserem Hilbert-Raum befinden, haben wir wohldefinierte Additions- und Subtraktionsoperationen und auch Multiplikationen mit Skalaren.

Superschnelle Qualle · Answer 1

Wir können die Ableitung eines Vektors im Hilbert-Raum durch die übliche Definition einer Ableitung definieren:

\frac{D | X ⟩}{D X} = lim_{D X \to 0} \frac{| X + D X ⟩ - | X ⟩}{D X}

$\frac{d|x\rangle}{dx}=\lim_{dx\to0}\frac{|x+dx\rangle-|x\rangle}{dx}$ Ebenso können wir höhere Ableitungen definieren. Mit diesen in der Hand können wir nun formal eine Taylor-Entwicklung definieren, die bis zur ersten Ordnung so aussieht:

| X_{0} + D X ⟩ \approx | X_{0} ⟩ + D X {(\frac{D | X ⟩}{D X})}_{X_{0}}

$|x_0+dx\rangle\approx|x_0\rangle+dx\left(\frac{d|x\rangle}{dx}\right)_{x_0}$ Da der Operator selbst in Ihrem Fall in erster Ordnung ist, wird der Ableitungsterm in zweiter Ordnung und somit vernachlässigbar. Endlich geben:

D X^{'} | X^{'} + D X^{'} ⟩ \approx D X^{'} | X^{'} ⟩

$dx’|x’+dx’\rangle\approx dx’|x’\rangle$

blöde frage aber wie bekomme ich die " $dx$ " in erster Ordnung? In der Taylor-Reihe besteht die erste Ordnung aus der Ableitung der Funktion multipliziert mit $(x-a)$ wo überhaupt $x$ stellt die Variable und dar $a$ der Bewertungspunkt. Also denke ich $dx$ kommt aus $(x-a)$ , Rechts? Aber wie genau?
Falls Sie es wollen $dx$ aus dem Unterschied herauskommen, einstellen $x\to x+dx$ Und $a\to x$ . Dann erhalten Sie das richtige Ergebnis. Wir arbeiten mit der Differenz bis zur Nullgrenze.

Quantenmechanik; Sakurai; Unendlich kleine Übersetzung

Astronaut Marbini

Benutzer245141

Astronaut Marbini

Benutzer245141

Antworten (1)

Superschnelle Qualle

Astronaut Marbini

Astronaut Marbini

Superschnelle Qualle

Warum können Operatoren in der Quantenmechanik als Matrizen dargestellt werden?

Hermitesche Konjugation des Differentialoperators

Wie passt die nicht-hermitesche Quantenmechanik (PT-symmetrische QM) in die Physik?

Zur Definition des Erwartungswertes in der Quantenmechanik

Was sind die physikalischen Zustände im Heisenberg-Bild?

Ist ⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩\langle\psi|\hat{A}|\psi\rangle = \langle\psi|\hat{B}|\psi\rangle für alle |ψ⟩|ψ⟩|\psi\rangle implizieren, dass A^=B^A^=B^\hat{A} = \hat{ B}?

Eigenvektoren von pxpxp_x in einem bestimmten Bereich

Eine alternative Definition der Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren?

Quantenfeldtheorie für den begabten Amateur: Aufgabe 2.4

Können Eigenzustände eines Hilbert-Raums als Delta-Funktionen betrachtet werden?