Eine alternative Definition der Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren?

Question

Eine alternative Definition der Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren?

Hühnergott

Angenommen, wir haben ein System von Bosonen, die durch ihre Besetzungszahlen dargestellt werden

\begin{matrix} (1) & | N_{1}, N_{2}, . . ., N_{a}, . . . ⟩ \end{matrix}

$\tag{1} | n_1, n_2, ..., n_\alpha, ... \rangle$ Dann können wir Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren definieren

\begin{matrix} (2) & A_{a}^{†} | N_{1}, N_{2}, . . ., N_{a}, . . . ⟩ = \sqrt{N_{a} + 1} | N_{1}, N_{2}, . . ., N_{a} + 1, . . . ⟩ \end{matrix}

$\tag{2} a_\alpha^\dagger| n_1, n_2, ..., n_\alpha, ... \rangle = \sqrt{n_\alpha+1} | n_1, n_2, ..., n_\alpha+1, ... \rangle$

\begin{matrix} (3) & A_{a} | N_{1}, N_{2}, . . ., N_{a}, . . . ⟩ = \sqrt{N_{a}} | N_{1}, N_{2}, . . ., N_{a} - 1, . . . ⟩ \end{matrix}

$\tag{3} a_\alpha| n_1, n_2, ..., n_\alpha, ... \rangle = \sqrt{n_\alpha} | n_1, n_2, ..., n_\alpha-1, ... \rangle$ Das ist schön, weil der Zahlenoperator gerecht ist

a_{α}^{†} a_{α}

$a_\alpha^\dagger a_\alpha$ . Wäre es jedoch sinnvoll, einen alternativen Satz von Operatoren zu definieren, mit denen gearbeitet werden kann?

\begin{matrix} (4) & B_{a} | N_{1}, N_{2}, . . ., N_{a}, . . . ⟩ = | N_{1}, N_{2}, . . ., N_{a} + 1, . . . ⟩ \end{matrix}

$\tag{4} b_\alpha| n_1, n_2, ..., n_\alpha, ... \rangle = | n_1, n_2, ..., n_\alpha+1, ... \rangle$

\begin{matrix} (5) & C_{a} | N_{1}, N_{2}, . . ., N_{a}, . . . ⟩ = {\begin{cases} | N_{1}, N_{2}, . . ., N_{a} - 1, . . . ⟩ & N_{a} > 0 \\ 0 & N_{a} = 0 \end{cases} \end{matrix}

$\tag{5} c_\alpha| n_1, n_2, ..., n_\alpha, ... \rangle = \begin{cases} | n_1, n_2, ..., n_\alpha-1, ... \rangle & n_\alpha>0 \\ 0 & n_\alpha=0 \end{cases}$

\begin{matrix} (6) & N_{a} | N_{1}, N_{2}, . . ., N_{a}, . . . ⟩ = N_{a} | N_{1}, N_{2}, . . ., N_{a}, . . . ⟩ \end{matrix}

$\tag{6} N_\alpha| n_1, n_2, ..., n_\alpha, ... \rangle = n_\alpha| n_1, n_2, ..., n_\alpha, ... \rangle$ Warum arbeiten wir nicht mit diesen Betreibern? Die bosonischen Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren

a_{α}^{†}

$a_\alpha^\dagger$ Und

a_{α}

$a_\alpha$ wurden definiert, um die Hebe- und Senkoperatoren des harmonischen Oszillators nachzuahmen (

x \pm i p

$x \pm i p$ ), aber gibt es einen zwingenden Grund, die

\sqrt{n_{α} + 1}

$\sqrt{n_\alpha+1}$ Und

\sqrt{n_{α}}

$\sqrt{n_\alpha}$ Faktoren?

Ich nehme an $a_\alpha^\dagger$ Und $a_\alpha$ gehorchen nette Eigenschaften wie $[a_\alpha,a_\alpha^\dagger]=1$ und die Tatsache, dass sie hermitische Adjunkte voneinander sind. Was sind die analogen Beziehungen, die $b_\alpha$ Und $c_\alpha$ würde gehorchen?

Selene Rouley

Eine weitere Sichtweise dieser Ideen finden Sie unter physical.stackexchange.com/a/90078/26076 , wo ich zeige, dass Ihre (2) und (3) auf natürliche Weise aus der Idee hervorgehen, das allgemeinste Quantensystem zu finden, dessen Messstatistik sich sinusförmig mit der Zeit ändert .

Antworten (2)

Eine alternative Definition der Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren?

Eine weitere Sichtweise dieser Ideen finden Sie unter physical.stackexchange.com/a/90078/26076 , wo ich zeige, dass Ihre (2) und (3) auf natürliche Weise aus der Idee hervorgehen, das allgemeinste Quantensystem zu finden, dessen Messstatistik sich sinusförmig mit der Zeit ändert .

Selene Rouley · Answer 1

Hier sind drei Eigenschaften, die Ihre Definitionen umständlich machen würden.

Sie können sich vorstellen $a^\dagger\,a$ als LU-Zerlegung (unteres Dreieck, oberes Dreieck oder Cholesky) der beobachtbaren Zahl. Eigentlich ist es nicht die einzigartige Cholesky-Faktorisierung, sondern diejenige, die von der äußeren Produktversion des Algorithmus gefunden wird. Ihre Definition hätte diese Eigenschaft nicht.

Infolgedessen liegt die Klammer zwischen Ihren beiden $b,\,c$ Operatoren wären ein bisschen böse. In Energie-Eigenkoordinaten ( dh so dass ein Zustand eines Quantenharmonischen Oszillators durch einen unendlichen Spaltenvektor von Wahrscheinlichkeitsamplituden gegeben ist, um in jedem der Zahlenzustände zu sein) wäre es:

[B, C] = D ich A G [1, 0, 0, \dots]

$[b,\,c]={\rm diag}[1,\,0,\,0,\,\cdots]$

und der Hamiltonian wäre komplizierter:

\hat{H} = ℏ ω (C B N + \frac{1}{2}) = ℏ ω (N C B + \frac{1}{2})

$\hat{H} = \hbar\,\omega\left(c\,b\,N + \frac{1}{2}\right) = \hbar\,\omega\left(N\,c\,b + \frac{1}{2}\right)$

und es gibt keine einfache Möglichkeit, den Hamiltonian in Bezug auf zu schreiben $b\,c ={\rm diag}[0,\,1,\,1,\,1,\,\cdots]$ .

All dies würde das Umschreiben von Operatoren und beobachtbaren Ausdrücken in normaler Reihenfolge in der Tat sehr umständlich machen.

Schließlich gibt es eine ziemlich elegante Art, einen allgemeinen kohärenten Zustand des harmonischen Quantenoszillators durch den sogenannten Verschiebungsoperator aufzuschreiben :

| a ⟩ = \exp (a A^{†} - a^{*} A) | 0 ⟩

$\left|\left.\alpha\right>\right. = \exp\left(\alpha\,a^\dagger - \alpha^* \, a\right)\left|\left.0\right>\right.$

die den Quantengrundzustand in einen kohärenten mit Amplitude verschiebt ( dh Verschiebung vom Ursprung in $x-p$ Phasenraum) $\alpha$ . Diese äußerst nützliche Formel wäre in Ihrer Notation viel umständlicher.

Eine ausgezeichnete Antwort, aber warum sollten wir eine LU-Zerlegung von haben? $N$ ? In der Besetzungszahlendarstellung ist es sowieso diagonal. Und $[b,c]=-|0 \rangle \langle 0|$ ist nur ein Projektionsoperator auf den Grundzustand, also ist es nicht so schlimm. Außerdem denke ich, dass der Hamiltonian einfach wäre $H=\hbar \omega (N+1/2)$ (Wir brauchen die nicht $cb$ Ding drin), was überhaupt nicht kompliziert ist.
Da hast du aber vollkommen Recht $a$ Und $a^\dagger$ sind zentral für die Konstruktion und Theorie eines kohärenten Staates, was umständlich wäre $b$ Und $c$ .
@ChickenGod Die Konsequenzen der LU-Zerlegung sind sehr nützlich für die normale Bestellung. Sicher, die Lie-Klammer ist der Projektionsoperator, wie Sie sagen, aber das macht normale Ordnungsformeln etwas umständlich. Versuchen Sie, etwas wie neu zu bestellen $a^n {a^\dagger}^m$ : Sie können es tun, aber es macht das Leben sicher viel einfacher, wenn Sie Dinge austauschen können, indem Sie sie von der Identität abziehen (wie when $[a, a^\dagger] = 1$ ). Der Verschiebungsoperator kann für Sie nützlich sein oder auch nicht: In der Quantenoptik ist er nicht mehr wegzudenken. Nichts davon ist natürlich in Stein gemeißelt: Notationen sind niemals: ....
@ChickenGod .... aber das sind ein paar Gründe, warum mir die vorliegende Notation einfällt. Die Hamilton-Formel ebenfalls: Oft können Sie den Zahlenoperator einfach so verwenden, wie Sie es tun, aber es gibt auch Zeiten, in denen die Zerlegung nützlich ist.
Ah ja, ich habe die normale Bestellung vergessen. In diesem Fall kann ich verstehen, warum $a a^\dagger = 1 + a^\dagger a$ überlegen ist $b c = 1 - | 0 \rangle \langle 0 |$ .

Trimok · Answer 2

Das Problem ist, dass die physikalischen Zustände positive Besetzungszahlen haben $n_1, n_2,...$ .

Mit Ihren Operatoren haben Sie zum Beispiel:

$c_\alpha| n_1, n_2, ..., 0, ... \rangle = | n_1, n_2, ..., -1, ... \rangle$ .

Dadurch erhalten Sie einen völlig unphysikalischen Zustand, sodass Sie von Hand Einschränkungen wie hinzufügen müssten $n_1 \geq 0, n_2 \geq 0,...$ , .

Bei den Betreibern $a_{\alpha}$ , haben Sie dieses Problem nicht, das Nichtvorhandensein von Zuständen mit negativen Besetzungszahlen ist aufgrund des Begriffs ganz natürlich $\sqrt{n_\alpha}$

+1 Hervorragendster Punkt. Ich habe in meiner eigenen Antwort tatsächlich "die Einschränkungen von Hand hinzugefügt", ohne zu merken, dass ich es tat. In der Tat ist mir gerade aufgefallen, dass ich es unterbewusst immer mit Problemen dieser Art gemacht habe: Ich schäme mich zu sagen, dass ich noch nie wirklich bemerkt habe, was Sie vorher sagen: die $\sqrt{n}$ schaltet das "Downsteppen" des Vernichtungsoperators automatisch ab $n=0$ .
Rechts. Ich wollte eigentlich die zusätzliche Einschränkung hinzufügen, dass $c_\alpha$ Handeln auf einem $n_\alpha = 0$ Staat gibt $0$ , aber ich habe vergessen, das einzugeben. Danke!

Eine alternative Definition der Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren?

Hühnergott

Selene Rouley

Antworten (2)

Selene Rouley

Hühnergott

Hühnergott

Selene Rouley

Selene Rouley

Hühnergott

Trimok

Selene Rouley

Hühnergott

Warum können Operatoren in der Quantenmechanik als Matrizen dargestellt werden?

Hermitesche Konjugation des Differentialoperators

Wie passt die nicht-hermitesche Quantenmechanik (PT-symmetrische QM) in die Physik?

Zur Definition des Erwartungswertes in der Quantenmechanik

Was sind die physikalischen Zustände im Heisenberg-Bild?

Ist ⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩\langle\psi|\hat{A}|\psi\rangle = \langle\psi|\hat{B}|\psi\rangle für alle |ψ⟩|ψ⟩|\psi\rangle implizieren, dass A^=B^A^=B^\hat{A} = \hat{ B}?

Quantenmechanik; Sakurai; Unendlich kleine Übersetzung

Eigenvektoren von pxpxp_x in einem bestimmten Bereich

Quantenfeldtheorie für den begabten Amateur: Aufgabe 2.4

Können Eigenzustände eines Hilbert-Raums als Delta-Funktionen betrachtet werden?