Quantenfeldtheorie für den begabten Amateur: Aufgabe 2.4

Der BH (eine Form)$\langle x |$oder sein entsprechender Ket-Vektor$|x\rangle$sind "Eigenzustände" des Stellenoperators$\hat{x}$mit Eigenwert$x$. Ich verwende die Anführungszeichen, weil sie in Positions- oder Impulskoordinaten Verteilungen und keine Mitglieder von sind$L^2$. Die Impuls- und Ortsobservablen haben keine Eigenzustände in$L^2$, wie in meiner Antwort hier besprochen . In Position$x^\prime$Koordinaten,$|x\rangle$ist das Dirac-Delta$\delta(x^\prime-x)$. Dasselbe Verhalten gilt natürlich für jeden Operator mit einem kontinuierlichen Spektrum in den Koordinaten, der den Operator in einen einfachen Multiplikationsoperator umwandelt, dh $\hat{x}(\psi(x)) = x\,\psi(x)$.

Informationen zu Ihrer Identität finden Sie hier in der kurzen Erklärung von Emilio Pisanty .

Aus mathematisch strenger Sicht ist die Frage heikel. Was Physiker tun, ist Folgendes:

1. Zustände werden durch Elemente eines Hilbert-Raums beschrieben, der als Zustandsraum bezeichnet wird$\mathcal{E}$. Man bezeichnet die Elemente von$\mathcal{E}$als$|\varphi\rangle$. Auf dem Platz$\mathcal{E}$Es handelt sich um hermitische Operatoren, die dem System zugeordnete physikalische Größen darstellen, sie werden als Observablen bezeichnet. Angesichts des jeweiligen Systems gehen wir davon aus$\mathcal{E}$hat die notwendigen Observablen, die darauf einwirken.

2. Das Spektrum einer Observablen umfasst die Menge aller möglichen zu messenden Werte. Jetzt kommt die Sache: Man geht davon aus, dass jede Observable eine Basis von Eigenzuständen hat. Wenn die Observable begrenzt ist, existiert die Basis wirklich als diskrete orthonormale Basis$|\varphi_i\rangle$, was die Zerlegung eines beliebigen Zustands als erlaubt

   $$|\varphi\rangle=\sum_{i=1}^\infty a_i |\varphi_i\rangle.$$ Andererseits nehmen Physiker an, selbst wenn das Observable unbeschränkt ist, dass eine verallgemeinerte kontinuierliche Basis existiert, dh dass es einen kontinuierlichen Satz von Zuständen gibt$|x\rangle$so dass man sich zersetzen kann $$|\varphi\rangle=\int\varphi(x)|x\rangle dx.$$ Man geht auch hier davon aus, dass die Vollständigkeitsrelation in diesem verallgemeinerten Sinne gilt $$\int|x\rangle\langle x| dx = \mathbf{1}.$$

3. Im Fall eines Teilchens, das beispielsweise eine Position hat, nimmt man an, dass es eine gibt$\mathcal{E}$mit dem Positionsoperator$X$und die entsprechende Positionsbasis$|x\rangle$so dass$X|x\rangle = x|x\rangle$und so dass die obigen Zerlegungen durchgeführt werden können. Nun der Impulsoperator$P$sollte als Generator räumlicher Übersetzungen fungieren und daher die von Ihnen gepostete Gleichung erfüllen.

Es stellt sich heraus, dass bekannt ist, dass die verallgemeinerten Eigenvektoren nicht existieren. Die verallgemeinerten Eigenvektoren existieren nur, wenn Sie in den sogenannten Gel'fand-Tripled (oder Rigged Hilbert Space)-Formalismus einsteigen.

Dennoch gehen Physiker davon aus, dass dies möglich ist. Also für Ihre zwei Punkte: (1) die Basis$|x\rangle$existiert nach Annahme, während$\langle x|$ist das Dual von$|x\rangle$, in dem Sinne, dass$\langle x | (|\varphi\rangle) = (|x\rangle,\varphi\rangle)$. Die Wellenfunktion ist die Projektion des Zustands auf die Positionsbasis, so dass$\varphi(x)=\langle x|\varphi\rangle$. (2) Die Identität ist wahr, weil man annimmt, dass es einen Impulsoperator gibt, der sie erfüllt.

Dies ist der traditionelle Ansatz. Aber lassen Sie uns auf einige Dinge näher eingehen. Beachten Sie zuallererst aus (1), dass ich geschrieben habe, dass man annimmt, dass es einen Hilbert-Raum gibt, aber das Wichtigste ist anzunehmen, dass es die Operatoren gibt. Über den algebraischen Ansatz kann man die Algebra von Operatoren definieren und sucht nach Repräsentationen der Algebra auf Hilbert-Räumen, dh wie man die Algebra als Operatoren in einem Hilbert-Raum realisiert.

Es stellt sich heraus, dass Sie für ein Teilchen mit Position immer noch möchten, dass der Impuls der Generator für räumliche Übersetzungen ist. Glücklicherweise kann dies als Kommutierungsrelation ausgedrückt werden: Dies ist gleichbedeutend mit Operatoren$X,P$mit$[X,P]=i\hbar$- dies ist die kanonische Kommutierungsbeziehung (CCR).

Sie suchen also nach einer Algebra von Operatoren, die von generiert wird$X,P$mit der Relation$[X,P]$auferlegt. Es stellt sich heraus, dass im Fall der Quantenmechanik (dies versagt nur in der Quantenfeldtheorie) das Stone-Von-Neumann-Theorem besagt, dass es bis zur einheitlichen Äquivalenz eine einzige Darstellung gibt, die die CCR erfüllt. Sie sind alle isomorph zu den$L^2$Vertretung wo$X\varphi(x) = x\varphi(x)$.

Man kann also tatsächlich davon ausgehen, dass es den Hilbert-Raum mit den Operatoren gibt. Dies rechtfertigt den Ansatz des abstrakten Zustandsraums und rechtfertigt die Existenz von$P$das wirkt als$-i\hbar \nabla$. Nur die Grundlage$|x\rangle$das ist nicht streng und kann nur im Gel'fand-Triplet-Ansatz gerechtfertigt werden.