Impulsoperator in Ortsdarstellung und umgekehrt

Also dachte ich das

P ^   =   − ich ℏ ∂ ∂ X  

Und

X ^   =   ich ℏ ∂ ∂ P  

aber ich bin gerade auf das nächste Problem gestoßen:

„Finde die Wellenfunktion für den Fundamentalzustand von

H = P 2 2 M + 1 2 M ω 2 X 2

in der Position Basis."

Sie fragen mich also nach: ψ 0 ( X ) = ⟨ X | 0 ⟩

Ich bin wie folgt vorgegangen: Ich wollte die Bedingung anwenden:

A | 0 ⟩ = 0

Mit A Sein:

A = M ω 2 ℏ ( X + ich P )

Das habe ich mir seitdem gedacht

X ^ | X ⟩ = X | X ⟩

Und

P ^ | X ⟩ = − ich ℏ ∂ ∂ X | X ⟩

Ich konnte sie einfach in die Gleichung für a einsetzen und endete mit:

M ω 2 ℏ ( X + ℏ ∂ ∂ X ) ψ 0 = 0

Was mich zu folgendem geführt hat:

D ψ 0 ψ 0 = − X ℏ D X

Aber als sie die Antworten überprüften, stellten sie fest, dass:

P ^ | X ⟩ = − ich ℏ M ω ℏ ∂ ∂ X | X ⟩

Und ich verstehe nicht, wo die Quadratwurzel taucht − ich ℏ kommt aus.

Was ist die Bedeutung von ⟨ X | X ^ ⟩ = X ?
@Hector Sie bedeuten, dass der Positionsoperator in der Positionsbasis nur x ist. X ^ ψ = X ψ
@AaronStevens Nein, "Positionsoperator in der Positionsbasis ist nur x" wird so geschrieben: X ^ | X ⟩ = X | X ⟩ .
@Hector Ich habe dir nur gesagt, was meiner Meinung nach das OP bedeutet.
Ich denke, Sie könnten den Impulsoperator technisch mit einer echten Konstante multiplizieren, solange Sie Ihren Positionsoperator durch dieselbe Konstante dividieren, damit die Beziehung [ X ^ , P ^ ] = ich ℏ hält noch. Ich könnte mich aber irren.
@AaronStevens, mein Fehler, ich dachte, du wärst der OP. Ich entschuldige mich bei dir.
@Hector Technisch würdest du sagen ⟨ X | X ^ | ψ ⟩ = X ψ ( X ) für jeden General | ψ ⟩
@AaronStevens ⟨ X | X ^ | ψ ⟩ = X ψ ( X ) = X ⟨ X | ψ ⟩ Faktor die | ψ ⟩ aus: ⟨ X | X ^ = X ⟨ X | . Dann nutzen Sie die Tatsache, dass X ^ ist hermitesch. Ihre Aussage und meine sind gleichwertig.
Stimme @Hector hier zu: Notation ist absolut erklärungsbedürftig.
@Hector Ja, jetzt verstehe ich. Das Problem ist, dass sie den Bediener in ein Ket gesteckt haben. Was technisch nicht das Schlimmste ist, wenn die Notation richtig definiert ist, aber ich persönlich würde davon abraten.
@Hector Entschuldigung für die Notation. Von ⟨ X | X ^ ⟩ Ich meinte den Positionsoperator in der Positionsbasis und durch ⟨ X | P ^ ⟩ der Impulsoperator in der Ortsbasis. Mir ist jetzt klar, dass ich stattdessen die von Ihnen vorgeschlagene Notation verwenden sollte
@Ernestako Ok, der nächste Schritt besteht darin, die Einheiten zu überprüfen (genau wie in Phys101). Beachten Sie, wann P ^ ∼ ℏ ∂ ∂ X wirkt auf eine Wellenfunktion und liefert eine Größe, deren Einheiten die Einheiten der Wellenfunktion mal Impulseinheiten sind (wie erwartet). Wie können Sie hinzufügen X (Positionseinheiten) und ℏ ∂ ∂ X (Impulseinheiten) in Ihrem Ausdruck für A ? Nachdem Sie das behoben haben, sind Sie der Antwort näher.

Antworten (2)

Ich denke, das ist ein Problem zwischen verschiedenen Notationen. Zuallererst haben Sie tatsächlich X ^ | Ψ ⟩ = X | Ψ ⟩ Und P ^ | Ψ ⟩ = − ich ℏ ∂ | Ψ ⟩ ∂ X . Aber der Vernichtungsoperator A ^ ist gleich X ^ + ich P ^ 2 Wo X ^ Und P ^ sind dimensionslose Operatoren.

Und es kommt vor, dass Sie Folgendes haben: X ^ = M ω ℏ X ^ Und P ^ = P ^ M ℏ ω Daher der in der Antwort geschriebene Ausdruck, wo die P ^ sollte interpretiert werden als P ^ Ich schätze.

Und übrigens, wenn Sie diese Ausdrücke verwenden, werden Sie das finden A ^ = M ω 2 ℏ ( X ^ + ich P ^ M ω )

Ihr Vernichtungsoperator ist falsch. Es ist,

A = ( M ω 2 X + ich P 2 M ω )
Finden ⟨ X ' | 0 ⟩ Du musst nur diese Gleichung lösen:
⟨ X ' | A | 0 ⟩ = 0
⟨ X ' | ( M ω 2 X + ich P 2 M ω ) | 0 ⟩ = 0
Seit P = − ich ∂ X ' ,
M ω 2 X ' ⟨ X ' | 0 ⟩ + ∂ X ' ⟨ X ' | 0 ⟩ 2 M ω = 0
Beim Lösen dieser Differentialgleichung erhalten Sie ψ 0 ( X ' ) . Beliebige zu berechnen ψ N ( X ' ) Wenden Sie einfach den Erstellungsoperator n-mal an | 0 ⟩ und nimm das innere Produkt ⟨ X ' | N ⟩ .

Hinweis: Ich habe verwendet ℏ = 1 .

Impulsoperator in Ortsdarstellung und umgekehrt
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v