Fragen zum Brakets-Formalismus und zum harmonischen Oszillator

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Fragen zum Brakets-Formalismus und zum harmonischen Oszillator

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Ich lerne gerade die Brakets-Formalismen für QM und habe Probleme, ein einfaches Problem zu lösen.

Für einen harmonischen Oszillator, insbesondere Griffiths 'Einführung in die Quantenmechanik P3.34:

Ich möchte den Erwartungswert des Impulses messen $p$ als:

⟨ P ⟩ = ⟨ Ψ | P | Ψ ⟩

$\langle p \rangle = \langle \Psi | p | \Psi \rangle$

unter Berücksichtigung der Wellenfunktion

Ψ (X, T) = \sum_{N = 0}^{1} C_{N} ψ_{N} e^{- ich E_{N} T / ℏ}

$\Psi(x,t) = \sum\limits_{n=0}^{1} c_n \,\psi_n \,e^{-iE_nt/\hbar}$

also mein erster gedanke war einfügen $\Psi$ In $\langle p \rangle$ als:

⟨ C_{0} ψ_{0} e^{- ich E_{0} T / ℏ} + C_{1} ψ_{1} e^{- ich E_{1} T / ℏ} | P | C_{0} ψ_{0} e^{- ich E_{0} T / ℏ} + C_{1} ψ_{1} e^{- ich E_{1} T / ℏ} ⟩

$\langle c_0 \,\psi_0 \,e^{-iE_0t/\hbar} + c_1 \,\psi_1 \,e^{-iE_1t/\hbar} \,|\, p \,|\, c_0 \,\psi_0 \,e^{-iE_0t/\hbar} + c_1 \,\psi_1 \,e^{-iE_1t/\hbar} \rangle$

aber ich erkenne, dass dies zu viel "brute force" ist und mir deutlich zeigt, dass ich nicht gut verstehe, wie man mit bras- und kets-Operationen rechnet (und auch, was der Vorteil davon ist).

In Anlehnung an meinen Dozenten verstand ich, dass dies Eigenwerte und Eigenvektoren von sind $\psi$ bzw. also denke ich, dass ich die Operation als inneres Produkt (?) behandeln kann, indem ich die Koeffizienten außerhalb der Operation ziehe, wobei die Reihenfolge eingehalten wird, wenn $c_i^* c_j$ Produkte erscheinen.

Jedenfalls sehe ich ehrlich gesagt nicht das Offensichtliche: Wie soll ich praktisch vorgehen? Warum hat das Ergebnis die Form eines Produkts? Etwas wie

(C_{0}^{*} ⟨ ψ_{0} | P | {e^{- ich E_{0} T / ℏ}}^{*} + C_{1}^{*} {e^{- ich E_{1} T / ℏ}}^{*} ⟨ ψ_{1} | P |) (C_{0} | ψ_{0} ⟩ e^{- ich E_{0} T / ℏ} + C_{1} | ψ_{1} ⟩ e^{- ich E_{1} T / ℏ})

$(c_0^* \langle \psi_0|p|\; {e^{-iE_0 t/\hbar}}^* + c_1^* {e^{-iE_1 t/\hbar}}^* \; \langle \psi_1|p|)(c_0 |\psi_0\rangle e^{-iE_0 t/\hbar} + c_1 |\psi_1 \rangle e^{-iE_1 t/\hbar})$

DJ Griffiths selbst sagt dazu:

Ich bin mir bewusst, dass meine Argumentation nicht korrekt ist, und ich möchte niemanden mit der Frage belästigen. Ich bin nur etwas verwirrt darüber und möchte mehr verstehen.

BEARBEITEN : Folgen Sie dem, was JEBund Cosmas Zachosvorschlagen:

seit $\Psi$ darstellen kann als

| Ψ ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} [| 0 ⟩ + e^{ich ϕ} | 1 ⟩] \equiv \frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} ψ_{0} \\ ψ_{1} e^{ich ϕ} \end{matrix})

$|\Psi \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} [|0\rangle + e^{i\phi}|1\rangle] \equiv \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} \psi_0 \\ \psi_1 e^{i\phi} \end{pmatrix}$

und der Momentum-Erwartungswert ist $\langle \Psi | \hat{p} | \Psi \rangle$ man kann schreiben

⟨ Ψ | = (| Ψ ⟩)^{†} = \frac{1}{\sqrt{2}} [⟨ 0 | + e^{- ich ϕ} ⟨ 1 |]

$\langle \Psi | = (|\Psi\rangle)^{\dagger} = \frac{1}{\sqrt{2}}[\langle 0|+e^{-i\phi}\langle 1 |]$

Dann

⟨ Ψ | \hat{P} | Ψ ⟩ = \frac{1}{2} [⟨ 0 | + e^{- ich ϕ} ⟨ 1 | P | 0 ⟩ + e^{ich ϕ} | 1 ⟩]

$\langle \Psi | \hat{p} | \Psi \rangle = \frac{1}{2} [\langle0| +e^{-i\phi}\langle 1 | p | 0 \rangle + e^{i\phi} |1\rangle]$

Sein $\hat{p} = i\sqrt{\frac{\hbar m \omega}{2}}(\hat{a_+}-\hat{a_{-}})$ So

⟨ Ψ | \hat{P} | Ψ ⟩ = 1 / 2 ich \sqrt{\frac{ℏ M ω}{2}} [⟨ 0 | + e^{- ich ϕ} ⟨ 1 | | \hat{A_{+}} | 0 ⟩ + \hat{A_{+}} e^{ich ϕ} | 1 ⟩ - \hat{A_{-}} | 0 ⟩ - \hat{A_{-}} e^{ich ϕ} | 1 ⟩]

$\langle \Psi | \hat{p} | \Psi \rangle = 1/2 \, i\sqrt{\frac{\hbar m \omega}{2}}[\langle 0 | + e^{-i\phi} \langle 1 | \Big| \hat{a_+} |0\rangle + \hat{a_+} e^{i\phi} |1\rangle - \hat{a_{-}}|0\rangle - \hat{a_{-}}e^{i\phi} |1\rangle]$

Verteilen Sie dann die BHs auf die resultierenden Kets nach rechts:

= 1 / 2 ich \sqrt{\frac{ℏ M ω}{2}} (⟨ 0 | (\hat{A_{+}} | 0 ⟩ + \hat{A_{+}} e^{ich ϕ} | 1 ⟩ - \hat{A_{-}} | 0 ⟩ - \hat{A_{-}} e^{ich ϕ} | 1 ⟩) + e^{- ich ϕ} ⟨ 1 | (\hat{A_{+}} | 0 ⟩ + \hat{A_{+}} e^{ich ϕ} | 1 ⟩ - \hat{A_{-}} | 0 ⟩ - \hat{A_{-}} e^{ich ϕ} | 1 ⟩))

$= 1/2\, i\sqrt{\frac{\hbar m \omega}{2}} ( \langle 0 |(\hat{a_+} |0\rangle + \hat{a_+} e^{i\phi} |1\rangle - \hat{a_{-}}|0\rangle - \hat{a_{-}}e^{i\phi} |1\rangle) + e^{-i\phi} \langle 1| (\hat{a_+} |0\rangle + \hat{a_+} e^{i\phi} |1\rangle - \hat{a_{-}}|0\rangle - \hat{a_{-}}e^{i\phi} |1\rangle) )$

Jetzt wirken alle Hebe- und Senkoperatoren auf die Kets neben ihnen, die folgen

\hat{A} | N ⟩ = \sqrt{N} | N - 1 ⟩

$\hat{a} |n\rangle = \sqrt{n} |n-1\rangle$

{\hat{A}}^{†} | N ⟩ = \sqrt{N + 1} | N + 1 ⟩

$\hat{a}^{\dagger} |n \rangle = \sqrt{n+1} |n+1 \rangle$

und ich bekomme innere Produkte der Zustände $\psi_0$ , $\psi_1$ Und $\psi_2$ nachgedacht von $\sqrt{n}$ Und $\sqrt{n+1}$ .

Das führt zu:

⟨ P ⟩ = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{M ω ℏ}{2}} ich [⟨ 0 | 1 ⟩ + e^{ich ϕ} ⟨ 0 | 2 ⟩ - e^{ich ϕ} ⟨ 0 | 0 ⟩ + e^{- ich ϕ} ⟨ 1 | 1 ⟩ + \sqrt{2} ⟨ 1 | 2 ⟩ - ⟨ 1 | 0 ⟩]

$\langle p \rangle = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{m\omega \hbar}{2}}i [\langle 0 | 1 \rangle + e^{i\phi}\langle 0| 2\rangle - e^{i\phi}\langle 0| 0\rangle +e^{-i\phi} \langle 1|1 \rangle +\sqrt{2} \langle 1|2 \rangle - \langle 1|0 \rangle]$

Was soll ich als nächstes tun?

Das innere Produkt sind die Zustände, die durch eine orthonormale Basis dargestellt werden $\psi_n^*\psi_{n'}$ ist 0 wenn $n \neq n'$ ? dh,

⟨ P ⟩ = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{M ω ℏ}{2}} ich [⟨ 0 | 1 ⟩ + e^{ich ϕ} ⟨ 0 | 2 ⟩ - e^{ich ϕ} ⟨ 0 | 0 ⟩ + e^{- ich ϕ} ⟨ 1 | 1 ⟩ + \sqrt{2} ⟨ 1 | 2 ⟩ - ⟨ 1 | 0 ⟩] = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{M ω ℏ}{2}} ich [0 + 0 - e^{ich ϕ} ⟨ 0 | 0 ⟩ + e^{- ich ϕ} ⟨ 1 | 1 ⟩ + 0 - 0]

$\langle p \rangle = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{m\omega \hbar}{2}}i [\langle 0 | 1 \rangle + e^{i\phi}\langle 0| 2\rangle - e^{i\phi}\langle 0| 0\rangle +e^{-i\phi} \langle 1|1 \rangle +\sqrt{2} \langle 1|2 \rangle - \langle 1|0 \rangle] = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{m\omega \hbar}{2}}i [0 + 0 - e^{i\phi}\langle 0| 0\rangle +e^{-i\phi} \langle 1|1 \rangle +0 - 0]$

Daniel Sank

Haben Sie etwas über das Erhöhen/Senken von Operatoren gelernt?

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@DanielSank Ja, das tue ich!

Kosmas Zachos

Also, wie haben Sie verwendet

\hat{p} \sim i (a^{†} - a) / \sqrt{2}

$\hat p\sim i(a^\dagger -a)/\sqrt{2}$ ?

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Hallo @CosmasZachos, ich habe dich vorgestellt

\hat{p}

$\hat{p}$ innen

⟨ Ψ | \hat{p} | Ψ ⟩ = ⟨ Ψ | \hat{p} Ψ ⟩

$\langle \Psi | \hat{p} | \Psi \rangle = \langle \Psi | \hat{p} \Psi \rangle$ und verteilte die Anhebungs- / Absenkungsoperationen. auf die Kets.

Kosmas Zachos

Ja, zu Ihrer letzten Frage, aber Sie stellen mit Ihrem Ausdruck x und nicht p dar .

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@CosmasZachos das ist richtig! Ich habe diesen Fehler nicht bemerkt, danke :) Jetzt habe ich es behoben

\hat{p} = i \sqrt{\frac{ℏ m ω}{2}} (a^{†} - a)

$\hat{p} = i\sqrt{\frac{\hbar m \omega}{2}} (a^\dagger - a)$

JEB

Orthonormal bedeutet

⟨ n | n^{'} ⟩ = δ_{n n^{'}}

$\langle n|n'\rangle = \delta_{nn'}$

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Haben Sie etwas über das Erhöhen/Senken von Operatoren gelernt?
Also, wie haben Sie verwendet $\hat p\sim i(a^\dagger -a)/\sqrt{2}$ ?
Hallo @CosmasZachos, ich habe dich vorgestellt $\hat{p}$ innen $\langle \Psi | \hat{p} | \Psi \rangle = \langle \Psi | \hat{p} \Psi \rangle$ und verteilte die Anhebungs- / Absenkungsoperationen. auf die Kets.
Ja, zu Ihrer letzten Frage, aber Sie stellen mit Ihrem Ausdruck x und nicht p dar .
@CosmasZachos das ist richtig! Ich habe diesen Fehler nicht bemerkt, danke :) Jetzt habe ich es behoben $\hat{p} = i\sqrt{\frac{\hbar m \omega}{2}} (a^\dagger - a)$

JEB · Answer 1

Da es um die Bra-Ket-Notation geht, ist das erste Problem: Sie verwenden sie nicht.

Das Problem besagt, dass die allgemeine Form der Wellenfunktion ist:

| ψ ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} [| 0 ⟩ + e^{ich ϕ} | 1 ⟩]

$|\psi\rangle = \frac 1 {\sqrt 2}[|0\rangle + e^{i\phi}|1\rangle]$

wo ich verwendet habe:

H | N ⟩ = (N + \frac{1}{2}) ℏ ω | N ⟩

$H|n\rangle = (n+\frac 1 2)\hbar\omega|n\rangle$

Da die globale Phase willkürlich ist, setze ich alles in den Koeffizienten von ein $n=1$ Basiszustand.

Berechnen Sie von hier aus die Erwartung von $\hat p$ indem man es als lineare Kombination von ausdrückt $a$ Und $a^{\dagger}$ . Maximieren als Funktion von $\phi$ , der einzige freie Parameter.

Beachten Sie, wie viel einfacher dies ist, als Produkte und Ableitungen von Hermite-Polynomen zu integrieren, selbst wenn Sie Folgendes verwenden:

H_{N + 1} (X) = 2 X H_{N} X - H_{N}^{'} (X)

$H_{n+1}(x) = 2xH_n{x} - H'_n(x)$

Sobald Sie für lösen $\phi_0$ , dann ist die Zeitentwicklung für stationäre (Basis-)Zustände einfach, da:

| N : T > 0 ⟩ = e^{- ich E_{N} T / ℏ} | N ⟩

$|n:t>0\rangle = e^{-iE_nt/\hbar}|n\rangle$

Die Phase jeder Komponente entwickelt sich also mit einer anderen Geschwindigkeit ... weshalb Zustände, die keine Energie-Eigenzustände sind, keine stationären Zustände sind.

Darüber hinaus ist die willkürliche Auswahl von $E=0$ bedeutet, dass die globale Phase besser nicht beobachtbar sein sollte.

Hallo @JEB, ich glaube, ich verstehe, was Sie vorschlagen, also habe ich meinen Beitrag bearbeitet, um genauer zu sagen, was mich beunruhigt. Könnt ihr mir da etwas weiter helfen?

Kosmas Zachos · Answer 2

Sie werden von einem Strudel von Symbolen überwältigt. Dein Lehrer hätte dir Nichtdimensionalisierung beibringen sollen: Einstellung $m,\omega,\hbar$ auf 1 und setzen sie bei Bedarf am Ende wieder ein. Sie haben es geschätzt

P = ich (A^{†} - A) / \sqrt{2} .

$p=i(a^\dagger-a)/\sqrt{2}.$

Halten Sie die Phasen des Grundzustands und des ersten angeregten Zustands vorläufig beliebig, so

| ψ (T) ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (e^{ich a - ich T / 2} | 0 ⟩ + e^{ich β - ich 3 T / 2} | 1 ⟩),

$|\psi(t)\rangle= {1\over \sqrt{2}}\left(e^{i\alpha-it/2}|0\rangle + e^{i\beta -i3t/2}|1\rangle\right ),$ so dass

\frac{ich}{2 \sqrt{2}} ⟨ ψ (T) | A^{†} - A | ψ (T) ⟩ = \frac{ich}{2 \sqrt{2}} (e^{- ich a + ich T / 2} ⟨ 0 | + e^{- ich β + ich 3 T / 2} ⟨ 1 |) (e^{ich a - ich T / 2} | 1 ⟩ - e^{ich β - ich 3 T / 2} | 0 ⟩ + C | 2 ⟩) = - \frac{1}{\sqrt{2}} Sünde (a - β + T);

$\frac{i}{2\sqrt{2}}\langle \psi(t)| a^\dagger - a |\psi(t)\rangle \\ =\frac{i}{2\sqrt{2}} \left(e^{-i\alpha +it/2}\langle 0 | + e^{-i\beta +i3t/2}\langle 1 | \right )\left(e^{i\alpha-it/2}|1\rangle - e^{i\beta -i3t/2}|0\rangle +c|2\rangle \right ) \\ = -{1\over \sqrt{2}}\sin (\alpha-\beta +t);$ das Maximum ist also 1/

\sqrt{2}

$\sqrt 2$ . Um das Maximum bei t=0 zu lokalisieren , wählen Sie

β = α + π / 2

$\beta = \alpha +\pi/2$ . Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können Sie dann auswählen

α = 0

$\alpha=0$ , So

β = π / 2

$\beta = \pi/2$ .

Um in eine Raumwellenfunktion umzuwandeln (aber warum?),

Ψ (X, T) = ⟨ X | ψ (T) ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (e^{- ich T / 2} ψ_{0} (X) + e^{ich π / 2 - ich 3 T / 2} ψ_{1} (X)),

$\Psi(x,t)= \langle x|\psi (t)\rangle= {1\over \sqrt{2}}\left(e^{ -it/2} \psi_0(x) + e^{i\pi/2 -i3t/2} \psi_1 (x) \right ),$ Zahlenzustände in Hermite-Funktionen umgewandelt .

Vielen Dank! Ich denke, was mich am meisten verwirrt, ist, wie Sie davon gekommen sind $\langle \psi | \hat{p} | \psi \rangle$ zum rechten Ausdruck in einem Schritt. Ist das wirklich so "einfach"?
Natürlich ist es einfach: Das ist der springende Punkt. Ich habe einen Zwischenzustand hinzugefügt. Beachten Sie, dass Sie sich nicht wirklich um den genauen Koeffizienten des 2. angeregten Zustands kümmern müssen, da er herausragt.

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Ist ⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩\langle\psi|\hat{A}|\psi\rangle = \langle\psi|\hat{B}|\psi\rangle für alle |ψ⟩|ψ⟩|\psi\rangle implizieren, dass A^=B^A^=B^\hat{A} = \hat{ B}?

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