Bra Ket Notation und Ableitung [Duplikat]

Wie in den in den Kommentaren verlinkten Fragen beantwortet, ist das Richtige zu suchen$\langle x | a | x'\rangle=\delta'(x-x')$. Ich schätze für deine Rechnung$\langle x|a|x\rangle=\delta'(0)=0$(wir haben$\delta'(-x)=-\delta'(x)$, also muss es eine ungerade Funktion sein. Wenn es also einen wohldefinierten Wert bei Null hat (was nicht der Fall ist!), muss es Null sein. Trimok gibt hier eine ähnliche Antwort ).

Lassen Sie uns das überprüfen: Wir hätten es tun sollen$\psi'(x)=\langle x | a | \psi\rangle$nach der Definition von$a$. Aber wir sollten auch Identität einfügen können$1=\int |x'\rangle\langle x'| \text{d}x'$wo immer wir wollen, so dass$\psi'(x)=\int \text{d}x'\langle x | a |x'\rangle\langle x' | \psi\rangle$. Somit$\psi'(x)=\int \text{d}x'\langle x | a |x'\rangle \psi(x')$für alle$\psi$. Wenn wir einstecken$\langle x | a | x'\rangle=\delta'(x-x')$, dann erhalten wir das Integral$\int \text{d}x'\delta'(x-x') \psi(x')$. Dies kann partiell integriert werden:

$$\begin{align*} (\cdots)&=-\int \psi(x')\text{d}\left(\delta'(x-x')\right) \\ &=\int \psi'(x')\delta(x-x') \text{d}x'\\ &=\psi'(x) \end{align*}$$

Unsere Formel ist also richtig!

Siehe auch Ableitungen derselben Sache (dividiere durch durch$-i\hbar$um meine Formel zu bekommen) als Antworten hier und hier .

Ich glaube, Sie verwechseln zwei Konzepte.

Wenn Sie einen Quantenzustand haben und ihn durch ein Ket darstellen,$| \psi \rangle$verwenden Sie lineare Algebra als Formalismus. Die Entwicklung eines solchen Zustands kann mit linearen Operatoren erfolgen . Diese Operatoren können als Matrizen dargestellt werden, wenn Ihr Raum endliche Dimensionen hat.

Es gibt jedoch eine andere Möglichkeit, die Quantenmechanik zu sehen: die Verwendung von Funktionen. Ihr Zustand könnte durch eine stetige Funktion dargestellt werden$\psi(x)$, und dann verwenden Sie die Infinitesimalrechnung als Ihren mathematischen Formalismus. Dann sind die Operatoren einfach Dinge, die über diese Funktionen wirken, wie zum Beispiel die Ableitungen.

In welchem ​​Verhältnis stehen die beiden Sichtweisen? Ich werde nicht auf mathematische Details eingehen, aber es ist möglich, beide Ansichten miteinander in Beziehung zu setzen

$$\langle x | \psi \rangle = \psi(x)$$

Dies wird Positionsdarstellung genannt. Sie können mehr haben, zum Beispiel Impulsdarstellung,$\langle p | \psi \rangle = \psi(p)$, Wo$\psi(p)$ist die Fourier-Transformation von$\psi(x)$.

Sie haben also zwei Möglichkeiten, die Operatoren zu sehen. Zum Beispiel,$\hat p$, der Impulsoperator, kann über jeden Zustand wirken$| \psi \rangle$, wie Sie es normalerweise in der linearen Algebra tun.

Sie könnten aber auch die Raumdarstellung verwenden:

$$\langle x | \hat p | \psi \rangle = -i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\psi(x)$$

Dies ist der Grund, warum Sie sich identifizieren$\hat p\equiv -i\hbar\frac{\partial}{\partial x}$. Genau genommen ist dies jedoch das, was Sie aus dem Impulsoperator in der Ortsdarstellung erhalten.

Sie können dies also beispielsweise auch mit der Impulsdarstellung tun:

$$\langle p |\hat p| \psi \rangle = p\psi(p)$$

In diesem Fall seit$| p \rangle$ein Eigenzustand des Impulsoperators ist, haben Sie$\hat p | p \rangle = p | p \rangle$und es wird einfach multipliziert mit$p$. Sie sehen, wenn Sie Ihre Funktion Fourier-transformieren, gibt es überhaupt keine Ableitung, wenn Sie den Impulsoperator anwenden.

Also, ich denke, dass Sie jetzt sehen, dass so etwas geschrieben wird

$$\langle x | \frac{\partial}{\partial x}| \psi \rangle$$

einfach keinen Sinn. (siehe Haftungsausschluss unten). Sie mischen die zwei verschiedenen Sichtweisen auf QM. Sie können also lineare Algebra oder Funktionen verwenden. Sie können mit Ihrer bevorzugten Darstellung beliebig zwischen ihnen wechseln. Aber man sollte die Sachen nicht vermischen.

Ich weiß, dass ich mathematisch etwas verlustreich war, aber ich hoffe, dass dies das Verständnis erleichtert.

BEARBEITEN : Nach einigen Kommentaren (und ein paar Abwertungen) denke ich, dass ich einen Haftungsausschluss hinzufügen muss. Tatsächlich kann ein Vektor in einem Hilbert-Raum von einer Variablen abhängen, beispielsweise kann ein Zustand zeitlich variieren:$| \psi(t) \rangle$. Dann, wenn die Basis, die wir verwenden, um die Vektoren darzustellen, festgelegt ist, ist die folgende Notation üblich:

$$| \psi(t) \rangle = \sum _{n=0} ^{+\infty} c_n(t) | e \rangle$$ $$\frac{\partial}{\partial t} | \psi(t) \rangle \equiv \sum _{n=0} ^{+\infty} \frac{\partial c_n(t) }{\partial t} | e \rangle$$

Die Ableitung der linken Seite der Gleichheit wirkt jedoch über einen Vektor und ergibt einen weiteren Vektor im Hilbert-Raum . Und auf der rechten Seite haben wir die normale Ableitung über Funktionen. Sie haben unterschiedliche Domänen, also sind sie unterschiedliche Dinge. Meine Antwort konzentriert sich einfach auf den Unterschied zwischen der Ableitung als Operator im Hilbert-Raum und im Raum der Funktionen. Vielleicht ist es jetzt klarer. Hoffe, ich habe damit keinen Mist gebaut. Bitte sagen Sie mir, wenn ich falsch liege.

Nun, aus rein mathematischer Sicht ist das "Objekt"$\langle x | \frac{\partial}{\partial x}| x\rangle$ist völlig unsinnig, selbst nach Diracs liberaler Ansicht zu urteilen, eine Mambo-Jumbo-Mischung schlecht definierter mathematischer Ausdrücke zu verwenden. In der standardmäßigen (Dirac-ähnlichen) mathematischen Interpretation des Braket-Formalismus der Quantenmechanik (vgl. quant-ph/0502053 v1) haben wir:

• $\langle x |$ist die Lösung der Spektralgleichung für den zweistelligen Operator$x'$in 1D (unbegrenzte Bewegung, dh$\sigma(x)=\mathbb{R}$) im abstrakten Raum$\Phi'$einer nuklearen Anlage$\Phi\subset \mathcal{H}\subset \Phi'$eines komplexen unendlichdimensionalen Hilbertraums$\mathcal{H}$in dem das CCR-Problem von Born-Jordan$[x,p] \subset i\hbar 1_{\mathcal{H}}$ist gut gestellt im Sinne von Stone-von Neumann-Rellich-Dixmier.
• $|x\rangle$ist die Lösung des gleichen Problems, aber mit dem Anti-Dual-Operator$x^\times$Und$\Phi^\times$das topologische Antidual von$\Phi$.

Die Tatsache, dass diese beiden Objekte Elemente aus verschiedenen Räumen sind, ist nicht so beunruhigend, man kann sie im Wesentlichen durch ihre Wirkung auf denselben Vektor identifizieren$\phi\in\Phi$. Sie sind topologisch gleich, egal welche Topologisierung verwendet wird. Das einzige Problem ist, dass der Betreiber$\partial_x$verwendet bereits die sogenannte Realisierung des abstrakten RHS$\Phi\subset \mathcal{H}\subset \Phi'$durch eine Reihe von Funktionen und Verteilungen, also diesen Operator, der entweder rechts oder links vom Dirac-Ausdruck wirkt$\langle x | \frac{\partial}{\partial x}| x\rangle$ist einfach nicht definiert.

Die Realisierung eines abstrakten RHS durch eine Menge von (Äquivalenzklassen von) Funktionen und Verteilungen erfolgt nur auf formaler Ebene, indem formale Objekte wie definiert werden$\langle x |p\rangle$(Formalität bedeutet hier, dass es keine Möglichkeit gibt, den wie oben separat definierten BH und das Ket zu kombinieren, um eine echte temperierte Verteilung zu erhalten):

Ohne diese Erkenntnis gibt es wirklich keine Möglichkeit, den partiellen Ableitungsoperator von zu erweitern$\Phi$Zu$\Phi'$oder$\Phi^\times$, weil es, wie bereits erklärt, nicht auf den Raum der BHs und Kets einwirkt.