Inneres Produkt von Orts- und Impuls-Eigenkets

Lassen Sie uns definieren Q ^ ,   P ^ die Orts- und Impulsquantenoperatoren, A ^ der Vernichtungsoperator und A ^ 1 ,   A ^ 2 mit seinem Real- und Imaginärteil, so dass

A ^ = A ^ 1 + J A ^ 2
mit
A ^ 1 = ω 2 ℏ Q ^ ,   A ^ 2 = 1 2 ℏ ω P ^
(als Referenz siehe Shapiro Lectures on Quantum Optical Communication, lect.4 )

Definieren | A 1 ⟩ ,   | A 2 ⟩ ,   | Q ⟩ ,   | P ⟩ das Eigenket des Operators A ^ 1 ,   A ^ 2 ,   Q ^ ,   P ^ bzw.

Aus der Vorlesung weiß ich das

⟨ A 2 | A 1 ⟩ = 1 π e − 2 J A 1 A 2
aber ich verstehe nicht, wie man es bekommt
⟨ P | Q ⟩ = 1 2 π ℏ e − J ℏ Q P

Ich dachte, dass mit einer variablen Substitution ausreichen würde, aber das Ersetzen A 1 = ω 2 ℏ Q ,   A 2 = 1 2 ℏ ω P , erhalte ich

1 π e − J ℏ Q P
die nicht den richtigen Faktor hat 1 2 π ℏ .

Was vermisse ich?

Es kommt darauf an, was ⟨ P | A ich ⟩ Und ⟨ Q | A ich ⟩ Sind. (Es ist kein Test, ich kann mich jetzt nicht erinnern). Sie müssen die Identitäten hineinstecken ⟨ A 1 | A 2 ⟩ , Sie können nicht einfach ersetzen.

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Innere Skalarprodukte

Seit A ^ 1 = ω 2 ℏ Q ^ , Dann ⟨ A 1 | Q ⟩ = N 1 δ ( A 1 − ω 2 ℏ Q ) .

Auch seit A ^ 2 = 1 2 ℏ ω P ^ , Dann ⟨ A 2 | P ⟩ = N 2 δ ( A 2 − 1 2 ℏ ω P ) .

Normalisierungskonstanten

Wir werden diese Eigenschaft verwenden: ∫ D X δ ( a X − j ) F ( X ) = F ( j a ) a .

Wenn wir das fragen | A 1 ⟩ normalisiert sind, fragen wir das

δ ( A 1 − A ¯ 2 ) = ⟨ A 1 | A ¯ 1 ⟩ = ∫ D Q ⟨ A 1 | Q ⟩ ⟨ Q | A ¯ 1 ⟩ = ∫ D Q | N 1 | 2 δ ( A 1 − ω 2 ℏ Q ) δ ( A ¯ 1 − ω 2 ℏ Q ) .

So, N 1 = ( ω 2 ℏ ) 1 4 .

Das Gleiche tun für | A 2 ⟩ Das haben wir dann erhalten:

⟨ A 1 | Q ⟩ = ( ω 2 ℏ ) 1 4 δ ( A 1 − ω 2 ℏ Q ) .

⟨ A 2 | P ⟩ = ( 1 2 ℏ ω ) 1 4 δ ( A 2 − 1 2 ℏ ω P ) .

Rechnen ⟨ P | Q ⟩

Dann, wie Sie wissen, ⟨ P | Q ⟩ = ∫ D A 1 D A 2 ⟨ P | A 2 ⟩ ⟨ A 2 | A 1 ⟩ ⟨ A 1 | Q ⟩ .

Dies sollte ausreichen, um die richtige Lösung zu finden.

Wenn ich das von Ihnen eingegebene Integral löse, bekomme ich
1 π e − J π Q P
-wenn ich es richtig mache - das hat nicht den richtigen faktor 1 2 π ℏ (Ich habe gerade die Frage zur Klarstellung bearbeitet).
Haben Sie die Eigenschaft des Dirac-Deltas verwendet, das über x multipliziert mit einer Konstanten berechnet wurde?
∫ F ( X ) δ ( a X ) = F ( 0 ) a ?
Oh ja und mit demselben Trick werden Sie das finden ⟨ A 1 | P ⟩ Und ⟨ A 2 | Q ⟩ einen Normalisierungsfaktor haben
@Nicola, ich habe meine Antwort unter Berücksichtigung der Dirac-Delta-Eigenschaft bearbeitet.
Inneres Produkt von Orts- und Impuls-Eigenkets
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