Elemente der Impulsoperatormatrix in der Positionsdarstellung

Question

Elemente der Impulsoperatormatrix in der Positionsdarstellung

Nacho Figueruelo

hier meine frage:

Ich versuche, die Matrixelemente des Impulsoperators zu finden $\hat{P}$ in der Positionsbasis $|x\rangle$ :

⟨ X | \hat{P} | X^{'} ⟩ := ⟨ X | \hat{P} \int D P | P ⟩ ⟨ P | X^{'} ⟩ = ⟨ X | \hat{P} \int D P | P ⟩ \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- ich P X^{'}}

$\langle x|\hat{P}|x'\rangle := \langle x|\hat{P}\int dp|p\rangle \langle p|x'\rangle=\langle x|\hat{P}\int dp|p\rangle \frac{1}{\sqrt {2\pi}}e^{-ipx'}$

Wo $\hbar=1$ . Jetzt handeln $\hat{P}$ auf dem ket $|p\rangle$ und multipliziert mit dem BH $\langle x|$ :

\begin{matrix} (1) & ⟨ X | \hat{P} | X^{'} ⟩ := \frac{1}{2 π} \int D P P e^{ich P (X - X^{'})} \end{matrix}

$\tag{1}\langle x|\hat{P}|x'\rangle :=\frac{1}{2\pi}\int dp\space p e^{ip(x-x')}$

also laut einigen Texten (und in Erinnerung an QM-Lektionen) sollten die Matrixelemente sein:

\begin{matrix} (2) & ⟨ X | \hat{P} | X^{'} ⟩ := - ich \frac{D}{D X} δ (X - X^{'}) \end{matrix}

$\tag{2}\langle x|\hat{P}|x'\rangle:=-i\frac{d}{dx}\delta(x-x')$

Wenn ich mich also nicht irre, sollte dies bedeuten, dass (1) gleich (2) ist. Sind diese Berechnungen richtig? Wie ist das Integral gleich dem Ausdruck (2)? Kennt jemand ein Buch, wo man den Impulsoperator in der x-Basis formal entwickelt?

Antworten (2)

Elemente der Impulsoperatormatrix in der Positionsdarstellung

Der junge Kindaichi · Answer 1

Ich gehe genauso vor wie du:

\hat{P} | X^{'} ⟩ = \int \hat{P} | P ⟩ ⟨ P | X^{'} ⟩ D P = \int P | P ⟩ \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- ich P X^{'}} D P

$\hat{p}|x'\rangle=\int\hat{p}|p\rangle\langle p|x'\rangle dp=\int p|p\rangle\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-ipx'}dp$

⟨ X | \hat{P} | X^{'} ⟩ = \int P ⟨ X | P ⟩ \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- ich P X^{'}} D P = \frac{1}{2 π} \int e^{ich P (X - X^{'})} P D P

$\langle x|\hat{p}|x'\rangle=\int p\langle x|p\rangle\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-ipx'}dp=\frac{1}{2\pi}\int e^{ip(x-x')}pdp$

⟨ X | \hat{P} | X^{'} ⟩ = - ich \frac{D}{D X} (\frac{1}{2 π} \int e^{ich P (X - X^{'})} D P)

$\langle x|\hat{p}|x'\rangle=-i\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2\pi}\int e^{ip(x-x')}dp\right)$ Hier verwenden wir die Identität

δ (X^{'} - X) = δ (X - X^{'}) = \frac{1}{2 π} \int D k e^{ich k (X^{'} - X)}

$\delta(x'-x)=\delta(x-x')=\frac{1}{2\pi}\int dk \ e^{ik(x'-x)}$ Was dazu führt

⟨ X | \hat{P} | X^{'} ⟩ = - ich \frac{D}{D X} δ (X - X^{'})

$\langle x|\hat{p}|x'\rangle=-i\frac{d}{dx}\delta(x-x')$

Ich denke, das Buch von R. Shankar hat einen guten Beweis.

Hier $\hbar$ gilt als 1.

Philipp · Answer 2

Dies ist ein bekanntes Ergebnis, obwohl ich nicht glaube, dass es normalerweise in den meisten einführenden Texten zur Quantenmechanik wie Griffiths oder Shankar eingeführt wird. Um Ihre Fragen zu beantworten:

Ja, $(1)$ ist gleich $(2)$ , obwohl Sie wissen sollten, dass Probleme vom Typ "Check-my-Work" auf dieser Site im Allgemeinen als nicht zum Thema gehörend angesehen werden.
Es ist gleich in dem Sinne, dass zwei Verteilungen gleich sind. Mit anderen Worten, es ist im gleichen Sinne gleich
$δ (X) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{\infty} D P e^{- ich P X},$ $\delta(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty \, \text{d}p \,\,e^{-i px},$
Dieses Thema wird normalerweise in vielen Büchern unter dem allgemeineren Fall der Darstellung von Observablen mit kontinuierlichen Eigenwerten behandelt, einschließlich Sakurais Modern Quantum Mechanics (Abschnitt 1.6: Position, Momentum, and Translation , ein Abschnitt, der Hunderte von Fragen dazu auf dieser Website enthält ) und Diracs Prinzipien der Quantenmechanik (Kapitel III: Darstellungen ). Aber denken Sie daran, wie Sakurai warnt, dass „ die rigorose Mathematik eines Vektorraums, der von Eigenkets überspannt wird, die ein kontinuierliches Spektrum aufweisen, ziemlich tückisch ist “ .

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Nacho Figueruelo

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Der junge Kindaichi

Philipp

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