Ableitung des Positionsoperators im QM

${\hat X} = x$weil wir uns dafür entschieden haben, auf einer Basis von Eigenvektoren von zu arbeiten${\hat X}$, dh Wellenfunktionen.

Wir haben einen Hilbertraum${\cal H}$das ist ein Vektorraum, auf dem wir jede gewünschte Basis wählen können. Wir entscheiden uns meistens dafür, mit einer Basis zu arbeiten, die den Positionsoperator diagonalisiert${\hat X}$. Basiszustände erfüllen

$${\hat X} | x \rangle = x | x \rangle$$ Sobald eine solche Grundlage gewählt ist, kann jeder Staat $|\Psi\rangle$In ${\cal H}$kann darin erweitert werden, dh wir können schreiben $$| \Psi \rangle = \int dx | x \rangle \Psi(x)$$ Die Funktion $\Psi(x)$heißt Wellenfunktion. Wir können dies umkehren, um zu finden $$\Psi(x) = \langle x | \Psi \rangle$$

Nun, was ist die Bedeutung von$\big({\hat X} \Psi \big)(x)$? Per Definition ist es die Wellenfunktion des Zustands${\hat X} | \Psi \rangle$, dh es ist$\langle x | {\hat X} | \Psi \rangle$. Das ist dann sofort ersichtlich

$$\langle x | {\hat X} | \Psi \rangle = x \langle x | \Psi \rangle = x \Psi(x)$$ So finden wir das $\big({\hat X} \Psi \big)(x) = x \Psi(x)$. Aus diesem Grund schreiben wir der Einfachheit halber ${\hat X} = x$, aber man muss bedenken, dass dies nur in der Koordinatenbasis gilt.

Impulsoperator in Koordinatenbasis: Man könnte sich nun fragen, wie man den Ausdruck für den Impulsoperator herleiten kann${\hat P}$in der Koordinatenbasis. Dies geschieht wie folgt.

Per Definition$\big( {\hat P} \Psi \big)(x) = \langle x | {\hat P} | \Psi \rangle$. Dann,

$$\big( {\hat P} \Psi \big)(x) = \int \frac{dp}{2\pi \hbar} \langle x | p \rangle \langle p | {\hat P} | \Psi \rangle = \int \frac{dp}{2\pi \hbar} \langle x | p \rangle \langle p | \Psi \rangle p = \int dx' \frac{dp}{2\pi \hbar} \langle x | p \rangle \langle p | x' \rangle \langle x' |\Psi \rangle p$$ Als nächstes verwenden $\langle x | p \rangle = e^{\frac{i}{\hbar} p x }$, wir haben $$\big( {\hat P} \Psi \big)(x) = \int dx' \frac{dp}{2\pi \hbar}e^{\frac{i}{\hbar} p (x-x') } p \Psi(x')$$ Wir schreiben jetzt $$e^{\frac{i}{\hbar} p (x-x') } p = - i \hbar \frac{\partial}{\partial x}e^{\frac{i}{\hbar} p (x-x') }$$ Damit können wir explizit das Integral überführen $p$und wir finden $$\big( {\hat P} \Psi \big)(x) = - i \hbar \frac{\partial}{\partial x} \Psi(x)$$ Daher schreiben wir auf Koordinatenbasis $${\hat P} = - i \hbar \frac{\partial}{\partial x}$$

PS - Selbstverständlich können wir die Basis frei wählen. Wir könnten zum Beispiel auf Impulsbasis arbeiten. Auf dieser Grundlage hätten wir

$${\hat P} = p~, \qquad {\hat X} = i \hbar \frac{\partial}{\partial p} ~.$$

Beachten Sie, dass$\hat{X} = x$ist absolut nicht richtig. Die linke Seite ist der Operator, der auf die Hilbert-Zustände von Quantenzuständen wirkt. Die rechte Seite ist eine reelle Zahl.

Die RHS ist die Positionsdarstellung der LHS. Wie das OP richtig erkannt hat, ist dies in gewissem Maße eine Tautologie, da es sich um die definierende Darstellung des Operators über die Eigenwertgleichung handelt

$$\hat{X} |x\rangle = x |x\rangle.$$

Die a priori-Definition ist also diese mit der Vorstellung, dass die$|x\rangle$-Zustände sind lokalisierte Delta-Funktionen, dh

$$\langle x'|x\rangle = \delta^{(3)}\left(x-x'\right).$$

Beachten Sie, dass die zweite obige Gleichung aus der ersten Gleichung (bis auf eine Konstante) unter der Annahme folgt, dass$\hat{X}$hermitesch ist und ihr Spektrum kontinuierlich ist.

Bisher war dies nur etwas Mathematik, wenn Sie darüber genauer lesen möchten, empfehle ich Quantenoptik im Phasenraum von W. Schleich .

Bisher war das nur Mathe. Das Wichtigste, was die Physik bestimmt, ist die Quantisierung, die darin besteht, die Beziehung aufzuerlegen:

$$\left[\hat{X}, \hat{P} \right] = i\hbar$$

so ergibt sich auch die erste Relation in der Frage (dh der Impulsoperator in der Ortsdarstellung).

In der QM haben Sie ein allgemeines Postulat, das erfordert, dass physikalische Observable (Impuls, Drehimpuls, Koordinaten) durch hermitische Operatoren dargestellt werden. Tatsächlich haben Sie im QM unterschiedliche Grundlagen sowie unterschiedliche Vorstellungen von Zeitentwicklung. Das sind Positions- und Koordinatenbasis sowie Schrödinger- und Heisenberg-Darstellungen. Wobei der Unterschied zwischen den letzten beiden darin besteht, dass im Heisenberg-Bild Operatoren zeitabhängig sind. Ihre Frage bezieht sich auf die Koordinatenbasis der Schrödinger-Darstellung, also konzentrieren wir uns darauf.

Bei der Koordinatendarstellung wird die Basis durch eine unendliche Menge von Vektoren gebildet$| \bf{x} >$wofür folgendes gilt

$$\hat{X}| \bf{x} > = \bf{x} | \bf{x} >$$
Jeder Zustandsvektor $| \psi >$kann in dieser Basis ausgedrückt werden als $$| \psi > = \int d\bf{x} |\bf{x}><\bf{x}|\psi>,$$ wobei wir den üblichen Ausdruck verwendet haben $\int d\bf{x}|\bf{x}><\bf{x}|=\hat{I}$. Der Positionsoperator war also einfach, was ist mit dem Impulsoperator? Hier brauchen Sie mehr Kalkül. In ähnlicher Weise gilt für die Impulsdarstellung, die wir haben $$\hat{P}| \bf{p} > = \bf{p} | \bf{p} >$$
Und $$| \psi > = \int d\bf{p} |\bf{p}><\bf{p}|\psi>.$$ Um die beiden in Beziehung zu setzen, bemerken wir: $$\psi(\bf{x})=<\bf{x}|\psi>=\int d\bf{p} <\bf{x}|\bf{p}><\bf{p}|\psi>=\int d\bf{p} <\bf{x}|\bf{p}>\phi(\bf{p}),$$ was bedeutet, dass Sie über eine Fourier-Transformation von einer Basis zur anderen gehen. Wo die Fourier-Transformation gegeben ist durch $$\psi(\bf{x})=\frac{1}{(2\pi \hbar)^{\frac{2}{3}}}\int d\bf{p}e^{\frac{i\bf{x}\cdot\bf{p}}{\hbar}}\phi(\bf{p})$$ In dieser Basis für den Impulsoperator $\hat{P}$wir haben $$<\bf{x}|\hat{P}|\psi>=<\bf{x}|\hat{P}\int d\bf{p}|\bf{p}><\bf{p}|\psi>= \frac{1}{(2\pi \hbar)^{\frac{2}{3}}}\int d\bf{p}\bf{p}e^{\frac{i\bf{x}\cdot\bf{p}}{\hbar}}\phi(\bf{p})$$ Seit $$\bf{p}e^{\frac{i\bf{x}\cdot\bf{p}}{\hbar}}=-i\hbar \nabla e^{\frac{i\bf{x}\cdot\bf{p}}{\hbar}},$$ wir haben $$<\bf{x}|\hat{P}|\psi>=-i\hbar \nabla<\bf{x}|\psi>.$$ Oder einfach $\hat{P}=-i\hbar \nabla$und für den anderen Betreiber $\hat{X}| \bf{x} > = \bf{x} | \bf{x} >$per Definition, weil wir in der Koordinatenbasis arbeiten.

Beides kannst du leicht überprüfen$\hat{P}$Und$\hat{X}$sind hermitesch und erfüllen die Heisenberg-Beziehung.

PS Sie können auch das Dirac-Bild (Wechselwirkung) haben, bei dem sowohl Zustände als auch Operatoren von der Zeit abhängen.