Wirkung des Impulsoperators auf die Wellenfunktion im Impulsraum

In den obigen Ausdrücken ist die$p$ist eine Wellenfunktion im Impulsraum aber$\hat p$ist ein Betreiber in$x$dh$\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x}$, kann es also auch auf die Impulsraumwellenfunktion einwirken?

$p$ist keine Wellenfunktion. Die Wellenfunktion wird in der Basis von ausgedrückt$|p\rangle$als$\langle p | \psi \rangle \equiv \psi(p)$. In der Impulsraumdarstellung gilt$\hat p$ist immer noch derselbe Betreiber, es sieht nur anders aus, weil wir unsere Basis geändert haben. In diesem Fall ist die Aktion von$\hat p$An$\psi(p)$ist nur Multiplikation mit$p$. Der Betreiber$\hat p$ist nicht "in$x$", als ob es nur im Positionsraum definiert ist. Vielmehr die Darstellung von$\hat p$in der Position Basis definiert ist$\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x}$; in verschiedenen Darstellungen wird es anders sein.

Ist auch$\langle p | \psi \rangle$definiert? Wenn ja, welchen Wert hat sie?

Ja. Es ist definiert zu sein$\psi(p)$auf die gleiche Weise$\langle x | \psi \rangle \equiv \psi(x)$.

Schließlich, wie gehen wir von$\langle p | \hat p \hat x |\psi \rangle$Zu$p\langle p | \hat x |\psi \rangle$

$|p\rangle$ist eine Eigenfunktion von$\hat p$mit Eigenwert$p$, daher können wir nehmen$\big[\langle p | \hat p \big]\hat x |\psi \rangle = \big[\langle p | p \big]\hat x |\psi \rangle$, wo ich den Hut fallen gelassen habe$\hat p$. Dann ziehen wir einfach$p$aus.

$\langle p | \psi \rangle$ist die in der Impulsbasis ausgedrückte Wellenfunktion:$\psi (p)$. Mehr kann dazu nicht gesagt werden, es sei denn, es wird mehr Kontext bereitgestellt.

Wichtig, der Betreiber$\hat{p}$kann in jeder Basis ausgedrückt werden, Positionsraum, wie Sie ihn in Ihrer Antwort definiert haben, ist nur eine mögliche Basis.

Schließlich gibt der Impulsoperator, der auf die im Impulsraum ausgedrückte Wellenfunktion wirkt, den Impuls des Teilchens zurück (ich gehe davon aus, dass es sich um eine Ein-Teilchen-Wellenfunktion handelt) und ändert die Wellenfunktion nicht, da es sich um eine Eigenfunktion des Impulsoperators handelt:

$\hat{p} \space \psi (p) = p \space \psi (p)$

Die Antwort besteht aus zwei Elementen. Das erste ist zu verstehen, was ist$\psi(p)$und die andere die Aktion von$\hat p$auf solche Funktionen.

Verstehen$\psi(p)$, ist es am einfachsten, sich auf diese Frage zu beziehen und die Antwort den Vorstellungen anzupassen$\psi(p)=\langle p\vert \psi\rangle$. Ähnlich wie$\vert x_0\rangle$ist so das$\hat x\vert x_0\rangle=x_0\vert x_0\rangle$, wir haben$\vert p_0\rangle$so dass$\hat p\vert p_0\rangle=p_0\vert p_0\rangle$, dh die Staaten$\vert p’\rangle$sind Eigenzustände des Operators$\hat p$mit Eigenwert$p’$.

Jetzt,$\hat p\psi(p)$ist definitionsgemäß

$$\hat p\psi(p)\equiv \langle p\vert \hat p\vert\psi\rangle\, .$$ Der Rest sind nur Manipulationen: $$\begin{align} \langle p\vert p\vert\psi\rangle =\langle \psi\vert \hat p^\dagger \vert p\rangle^* &=\langle \psi\vert\hat p\vert p\rangle^* \qquad \qquad \hbox{since $\hat p$ is hermitian}\, ,\\ &=p\langle \psi\vert p\rangle^* \qquad \qquad \hbox{since eigenvalues of $\hat p$ are real}\, ,\\ &=p\langle p\vert\psi\rangle = p\psi(p)\, . \end{align}$$ Mit anderen Worten, genau wie$\hat x$ist Multiplikation mit$x$ auf Funktionen$\psi(x)$von$x$,$\hat p$ist Multiplikation mit$p$ auf Funktionen$\psi(p)$.

Der interessante Teil besteht darin, die Aktion zu erhalten$\hat x$auf Funktionen$\psi(p)$. Dies geschieht durch die Konvertierung von$p$-Vertretung bei der$x$-Darstellung mit dem Grundausdruck

$$\langle x\vert p\rangle = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{i x p/\hbar}$$ was folgt, weil Zustände von bestimmtem Impuls$\vert p\rangle$werden als ebene Welle im Raum ausgedrückt,$e^{i x p/\hbar}$. Der Faktor$1/\sqrt{2\pi}$dient der Bequemlichkeit, da die ebenen Wellen nicht normalisiert werden können. Mit diesem: $$\hat x\psi(p)\equiv \langle p\vert \hat x \vert \psi\rangle \tag{1}$$ Setze nun den Einheitsoperator als Summe über alle ein$\vert x\rangle$Projektionen: $$\hat 1=\int dx \vert x\rangle \langle x\vert$$ wandelt (1) in um $$\begin{align} X\psi(p)&=\int dx’ \langle p\vert \hat x \vert x’\rangle \langle x’\vert\psi\rangle\, ,\\ &=\int dx’ x’ \langle p\vert x’\rangle\langle \psi\rangle \, ,\\ &= \int dx’ x’ \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-i x’ p/\hbar} \psi(x)\, ,\\ &=i\hbar\frac{\partial}{\partial p} \int dx’ \langle p\vert x’\rangle\langle x’\vert\psi\rangle\, ,\\ &=i\hbar \frac{\partial}{\partial p} \langle p\vert \psi\rangle \, ,\tag{2}\\ &=i\hbar \frac{\partial}{\partial p}\psi(p)\, . \tag{3} \end{align}$$ Es gibt eine Reihe von mathematisch losen Schritten, aber das ist die Grundidee. In (2) habe ich verwendet$\int dx’ \vert x’\rangle\langle x’\vert=\hat 1$um das Integral loszuwerden, und ich habe auch angenommen, dass man die Ableitung w/r nach „herausziehen“ kann$p$aus dem Integral heraus, da ich über integriere$x’$aber eine Ableitung w/r zu nehmen$p$.

Beachten Sie den wichtigen Vorzeichenunterschied zwischen (3) und der häufigeren Aktion von$\hat p$An$\psi(x)$.

Ihre abschließende Abfrage folgt mit

$$\langle p\vert \hat p \hat x\vert\psi\rangle = \langle \psi \hat x\hat p\vert p\rangle ^* = p\langle p\vert \hat x\vert\psi\rangle$$ wo ich Hermitizität von verwendet habe$\hat x$Und$\hat p$, und die Realität des Eigenwerts$p$.

Die Dirac-Notation$|p\rangle$bedeutet, dass$|p\rangle$ist ein Eigenzustand des Impulsoperators$\hat p$mit Eigenwert$p$:

$$\hat p |p\rangle = p |p\rangle .$$ Wenn$|\psi\rangle$ist ein Eigenzustand von$\hat p$mit Eigenwert$p^{\prime}$(dh wenn es die ebene Welle ist$\propto exp(i p^{\prime} x/\hbar)$),$\langle p|\psi\rangle = \delta(p-p^{\prime})$. Wenn$|\psi\rangle$kein Impuls-Eigenzustand ist, kann er dennoch in Impuls-Eigenzustände entwickelt werden: $$|\psi\rangle = \sum_p |p\rangle \cdot \langle p|\psi \rangle .$$ (Die obige Gleichung nutzt die Tatsache, dass$\sum_p |p\rangle\langle p|$ist Identität.)$\langle p|\psi\rangle$ist die Projektion von$|\psi\rangle$auf den Impuls-Eigenzustand$|p\rangle$(meistens einfach geschrieben als$\psi(p)$).

Seit$|p\rangle$ein Eigenzustand (genauer ein Eigenket) von ist$\hat p$mit Eigenwert$p$, so ist das Hermitesch Konjugierte$\langle p|$($\langle p|$ist das entsprechende Eigenbra in Dirac-Notation). Gehen von$\langle p|\hat p \hat x|\psi\rangle$Zu$p\langle p|\hat x|\psi\rangle$nutzt das$\langle p|$ist ein Eigenbra des Impulsoperators$\hat p$, und man lässt$\hat p$nach links handeln ($\langle p| \hat p = p \langle p|$), sodass man den Eigenwert ziehen kann$p$aus dem Skalarprodukt.