Herleitung der kanonischen Lage-Impuls-Kommutator-Beziehung

In der Annahme von "Ort"- und "Impuls"-Basis sollte der Eigenwert eqs implizit sein. für die entsprechenden Observablen,$\hat x\; |x\rangle = x |x\rangle$Und$\hat p\; |p\rangle = p |p\rangle$, obwohl der Ausdruck von$\hat p$in der Positionsbasis ist nicht erforderlich. Betrachten Sie mit diesem Verständnis das Matrixelement

$$\langle x |(\hat x \hat p - \hat p \hat x | x' \rangle = (x-x')\langle x |\hat p | x' \rangle =\\ = (x-x')\int{dp_1 \int{dp_2 \langle x |p_1\rangle \langle p_1|\hat p |p_2\rangle \langle p_2 | x'\rangle }}= \\ = (x-x')\int{dp_1 \int{dp_2 e^{ip_1x}\delta(p_1-p_2)p_2e^{-ip_2x'}}} = \\ = (x-x')\int{dp_1 \;p_1 e^{i(x-x')p_1}} = -i(x-x')\frac{\partial}{\partial x}\int{dp_1 \; e^{i(x-x')p_1}}=\\ = -i(x-x')\frac{\partial}{\partial x}\delta(x-x') = i\delta(x-x') = i\langle x|x'\rangle$$ wo von der Identität Gebrauch gemacht wurde $(x-a)\delta'(x-a) = -\delta(x-a)$. Seit $|x\rangle$, $|x'\rangle$sind willkürlich, $$[\hat x, \hat p] = i$$ folgt unbedingt.

Die einzige Zutat, die man braucht, um die Kommutierungsbeziehungen zurückzubeweisen, ist die Wirkung eines der beiden Operatoren auf die andere Basis; davon muss man nämlich ausgehen$\langle x|\hat{p}| \psi\rangle = i \partial_x \psi(x)$, dh der Impulsoperator wirkt als Ableitung auf den Ort (oder umgekehrt). Daraus folgen automatisch die Kommutierungsrelationen über das Stone-Theorem, oder, äquivalent umformuliert, die Ableitung ist der einzige Operator, dessen Kommutator mit der Position die Identität ist.

3) folgt automatisch und 1) & 2) sind unnötig.