Wie konstruiert man die radiale Komponente des Impulsoperators?

Dazu müsste man ausnutzen, dass der Impulsoperator im Ortsraum liegt$\vec{p} = -i\hbar\vec{\nabla}$und verwenden Sie die Definition des Gradientenoperators in Kugelkoordinaten:

$$\vec{\nabla} = \hat{r}\frac{\partial}{\partial r} + \hat{\theta}\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial\theta} + \hat{\phi}\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\phi}$$

Also ist die Radialkomponente des Impulses

$$p_r = -i\hbar\hat{r}\frac{\partial}{\partial r}$$

Allerdings: Nach ein wenig Recherche, die durch die Kommentare veranlasst wurde, stellte ich fest, dass dies in der Praxis nicht sehr häufig verwendet wird. Es ist nützlicher, einen Operator zu haben$p_r'$das befriedigt

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 R(r) = \frac{p_r'^2}{2m} R(r)$$

Dadurch können Sie die radiale Komponente der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung schreiben als

$$\biggl(\frac{p_r'^2}{2m} + V(r)\biggr)R(r) = E R(r)$$

Die Aktion der radialen Komponente des Laplace-Operators in 3D ist

$$\nabla^2 R(r) = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\biggl(r^2\frac{\partial R(r)}{\partial r}\biggr)$$

und wenn Sie für den Operator auflösen$p'_r$das die obige Definition erfüllt, landen Sie bei

$$p'_r = -i\hbar\biggl(\frac{\partial}{\partial r} + \frac{1}{r}\biggr)$$

Dies wird als "radialer Impulsoperator" bezeichnet. Genau genommen unterscheidet sie sich von der "radialen Komponente des Impulsoperators", die per Definition$p_r$wie ich es oben geschrieben habe, obwohl ich nicht überrascht wäre, wenn Leute die Terminologie relativ oft verwechseln würden.

Ich konnte es herausfinden, also hier die Klarstellung für das Protokoll.

Klassisch

$$p_r=\hat{D}_r = \frac{\hat{r}}{r} \cdot\hat{p} = \frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial r}$$

Jedoch$\hat{D}_r$ist nicht hermitesch. Betrachten Sie den Adjunkten

$$\hat{D}_r^\dagger= \hat{p}\cdot\frac{\hat{r}}{r} =\frac{\hbar}{i} \left ( \frac{\partial}{\partial r}+\frac{2}{r} \right )$$

Nun wissen wir aus der linearen Algebra, wie man aus einem Operator und seinem Adjungierten einen hermiteschen Operator konstruiert:

$$\hat{p}_r = \frac{\hat{D}_r^\dagger+\hat{D}_r}{2}=\frac{\hbar}{i} \left ( \frac{\partial}{\partial r}+\frac{1}{r} \right )$$

Und übrigens, für diejenigen, die meiner Anfangsfrage gefolgt sind, machen Sie nicht den folgenden Rechenfehler, den ich begangen habe:

$$\hat{p}_r = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{r}(\vec{r}\cdot\vec{p})+(\vec{p}\cdot\vec{r})\frac{1}{r}\right)\neq \frac{1}{2}\frac{1}{r}(\vec{r}\cdot\vec{p}+\vec{p}\cdot\vec{r})$$

Auch in einer Dimension der Operator$p_r=-i\partial_r$auf der Halblinie$r>0$hat Mangelindizes$(0,1)$. Es gibt daher keine Möglichkeit, ihn als selbstadjungierten Operator zu definieren. Praktisch bedeutet diese abstrakte mathematische Aussage, dass es keine Reihe von Randbedingungen gibt, die wir der Wellenfunktion auferlegen können$\psi(r)$die zu einem vollständigen Satz von Eigenfunktionen für führen$p_r$. Dies erfordert beispielsweise die partielle Integration zum Beweis der formalen Hermitizität$\psi(0)=0$aber alle potentiellen Eigenfunktionen sind von der Form$\psi_k(r)=\exp\{ikr\}$für einige reelle oder komplexe$k$, und kein Wert von$k$kann machen$\psi_k(0)$Null sein.

Da man Eigenfunktionen und Fremdwerte braucht, um dem Ergebnis einer Messung eine Wahrscheinlichkeit zuzuordnen$p_r$Dies bedeutet, dass$p_r$ist kein „Beobachtbares“.

1D ist in der Tat kein guter Radialoperator (und wenn man es verwendet, entspricht es einer halben Linie mit Reflexionsrandbedingung bei x = 0, und dann verschwindet der Randterm dort, sodass h / i * d / dr wieder hermitesch ist). Aber bei höheren Dimensionen, zB 3, muss man an das innere Produkt denken$r^2$Gewichtsfunktion, also hebt sie den Randterm auf. Dies ergibt natürlich einen anderen Begriff bei der partiellen Integration, und das ist der Grund$d/dr$allein, wenn nicht genug für Hermitizität.

Natürlich entspricht dies auch der Tatsache, dass "ebene Welle" in Radialkoordinate eine gewisse Funktion hat$r$im Nenner, wegen Energieerhaltung, z$e^{ikr}/r$in 3D.

Siehe auch dieses schöne Papier, das das Scheitern dieses Ansatzes in 2D beschreibt.