Sind in der nichtrelativistischen Quantenmechanik verschiedene Operatoren als Kandidaten für den Impulsoperator möglich, vorausgesetzt, man hat einen Ortsoperator und einen Hilbertraum festgelegt, auf den dieser Ortsoperator wirkt?
Wenn ich den Hilbert-Raum als den Raum der quadratintegrierbaren Funktionen wähle und den Ortsoperator als , dann ist die übliche Wahl für den Impulsoperator . Es gibt jedoch andere Möglichkeiten, die auch die Kommutierungsbeziehungen erfüllen würden:
Mit beliebiger Funktion würde die Vertauschungsverhältnisse ebenso befriedigen. Gibt es eine Art "Eichenfreiheit", die durch Auswahl festgelegt wird? , oder gibt es zusätzliche Annahmen, dass muss befriedigen?
BEARBEITEN Ich habe in anderen Antworten gelesen, dass der Impulsoperator Übersetzungen generieren muss, und diese Antwort erwähnt, dass die Eigenschaft, der Generator von Übersetzungen zu sein, mit der Eigenschaft der Kommutierungsbeziehung verknüpft ist. Es besagt jedoch auch, dass die Wahl des Impulsoperators eine eindeutige Wahl ist. Übersehe ich etwas? Wenn die ccr's erfüllt sind, dann kann die gegebene Formel einer einheitlichen Verschiebung des Positionsoperators verwendet werden, was zu der besagten Übersetzung führt.
Die kanonischen Vertauschungsrelationen in Form der Lie-Algebra erzeugen nicht unbedingt die Heisenberg-Gruppe, und daher gibt es in dieser Form kein Eindeutigkeitsergebnis.
Es gibt explizite Gegenbeispiele für dicht definierte selbstadjungierte Operatoren mit einem gemeinsamen Kern, auf dem sie die CCR in Form der Lie-Algebra erfüllen, die die Heisenberg-Gruppe nicht erzeugen. Ein solches Beispiel findet sich beispielsweise in dem Buch von Reed und Simon.
Die Gegenbeispiele sind kniffliger als die vom OP vorgeschlagenen, da beide Operatoren selbstadjungiert sein sollten (um physikalisch relevante Observablen zu sein) und einen gemeinsamen Kern haben, auf dem die CCR zufrieden sind.
Stattdessen gibt es Eindeutigkeit bis auf (einheitliche) Gruppenhomomorphismen der irreduziblen Darstellungen der Heisenberg-Gruppe, dh der exponentiellen Version des CCR. Mit anderen Worten, wenn man die CCR in Exponentialform benötigt (die sogenannten Weyl-Relationen) und einen der beiden Generatoren festlegt (z. B. den Ortsoperator), dann ist der andere eindeutig bestimmt. Dieses Eindeutigkeitsergebnis wird als Stone-von-Neumann-Eindeutigkeitssatz bezeichnet (und ist ein Sonderfall von Mackeys Systemen der Imprimitivität).
QMechaniker
Kosmas Zachos