Gibt es einen einfachen Ausdruck für [x,eixp][x,eixp][x,e^{ixp}]?

Ich bin mir sicher, dass das irgendwo existiert, aber etwas überraschend ist es nicht so einfach zu googeln.* Die Kommutatoren

[ X , e ich ( A X 2 + B ( X P + P X ) + C P 2 ) ]
des Ortes und die Exponentialfunktion einer quadratischen Funktion von Ort und Impuls sind definitiv zu Tode bekannt, nicht zuletzt, weil die Theorie der Gaußschen Zustände sie ständig in Form von quadratischen Funktionen von Feldquadraturen behandelt.

Ich interessiere mich besonders für Funktionen des spezifischen Typs

[ X ich , e ich X J A J k P k ] ,
wo ich das weiß A J J = 0 Es gibt also keine Hermitizitätsprobleme (Einstein-Summen für beide). Hat jemand eine Referenz zur Hand?

* Daher für die Nachwelt diese Frage. Vorschläge, wie dies suchfreundlicher gestaltet werden kann, sind willkommen.

Würde die Taylor-Erweiterung mit roher Gewalt nicht funktionieren? Schließlich ist die Methode immer, auf irgendetwas zu reduzieren [ A , B C ] und dann bewegen B Und C nach links bzw. rechts, um schließlich alles wieder zu gruppieren.

Antworten (1)

Versuchen wir es mit der Baker-Campbell-Hausdorff-Formel in der Form

e X Y e − X = Y + [ X , Y ] + 1 2 ! [ X , [ X , Y ] ] + 1 3 ! [ X , [ X , [ X , Y ] ] ] + . . .
Nehmen X = ich X J A J k P k Und Y = X ich . Es ist nicht der einfachste Fall seit dem ersten Kommutator,
[ X , Y ] = [ ich X J A J k P k , X ich ] = ich X J A J k ( − ich δ k ich ) = X J A J ich
pendelt nicht mit X = ich X J A J k P k . Aber schauen wir uns die Kommutatoren höherer Ordnung an:
[ X , [ X , Y ] ] = [ ich X J A J k P k , X J ' A J ' ich ] = ich X J A J k [ P k , X J ' ] A J ' ich = ich X J A J k ( − ich δ k J ' ) A J ' ich = X J A J k A k ich
Ähnlich,
[ X , [ X , [ X , Y ] ] ] = X J A J k A k l A l ich usw.

Nehmen wir alles in der BCH-Formel:

e ich X J A J k P k X ich e − ich X J A J k P k = X J δ J ich + X J A J ich + 1 2 ! X J A J k A k ich + 1 3 ! X J A J k A k l A l ich = X J ( e A ) J ich
oder, besser für unseren Zweck hier,
e ich X J A J k P k X ich e − ich X J A J k P k = X ich + X J ( e A − ICH ) J ich
Multipliziere links mit e ich X J A J k P k , neu anordnen und erhalten
[ X ich , e ich X J A J k P k ] = X J ( ICH − e A ) J ich e − ich X l A l k P k

Für den Kommutator im Fragentitel gilt: [ X , e ich P X ] , das gleiche Verfahren ergibt eine viel einfachere Formel:

e ich X P X e − ich X P = X + [ ich X P , X ] + 1 2 ! [ ich X P , [ ich X P , X ] ] + 1 3 ! [ ich X P , [ ich X P , [ ich X P , X ] ] ] + . . . = = X + X + 1 2 ! X + 1 3 ! X + . . . = X + ( e − 1 ) X
Und
[ X , e ich X P ] = ( 1 − e ) X e ich X P

Gibt es einen einfachen Ausdruck für [x,eixp][x,eixp][x,e^{ixp}]?
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