Hilfe beim Vereinfachen einer Kommutatorgleichung

Question

Hilfe beim Vereinfachen einer Kommutatorgleichung

yankeefan11

Für die SHO sagte uns unser Lehrer, wir sollten skalieren

P \to \sqrt{M ω ℏ} P

$p\rightarrow \sqrt{m\omega\hbar} ~p$

X \to \sqrt{\frac{ℏ}{M ω}} X

$x\rightarrow \sqrt{\frac{\hbar}{m\omega}}~x$ Und dann definiere folgendes

K_{1} = \frac{1}{4} (P^{2} - Q^{2})

$K_1=\frac 14 (p^2-q^2)$

K_{2} = \frac{1}{4} (P Q + Q P)

$K_2=\frac 14 (pq+qp)$

J_{3} = \frac{H}{2 ℏ ω} = \frac{1}{4} (P^{2} + Q^{2})

$J_3=\frac{H}{2\hbar\omega}=\frac 14(p^2+q^2)$ Der erste Teil soll das zeigen

Q \equiv - K_{1}^{2} - K_{2}^{2} + J_{3}^{2}

$Q \equiv -K_1^2-K_2^2+J_3^2$ IST eine Zahl. Mein Ansatz:

16 Q = J_{3}^{2} - K_{1}^{2} - K_{2}^{2} = (P^{2} + Q^{2})^{2} - (P^{2} - Q^{2})^{2} - (P Q + Q P)^{2}

$16Q=J_3^2-K_1^2-K_2^2=(p^2+q^2)^2-(p^2-q^2)^2-(pq+qp)^2$

= P^{4} + Q^{4} + P^{2} Q^{2} + Q^{2} P^{2} - (P^{4} + Q^{4} - P^{2} Q^{2} - Q^{2} P^{2}) - ((P Q)^{2} + (Q P)^{2} + P Q Q P + Q P Q P)

$=p^4+q^4+p^2q^2+q^2p^2-(p^4+q^4-p^2q^2-q^2p^2)-((pq)^2+(qp)^2+pqqp+qpqp)$

= 2 P^{2} Q^{2} + 2 Q^{2} P^{2} - P Q P Q - Q P Q P - P Q Q P - Q P P Q

$=2p^2q^2+2q^2p^2-pqpq-qpqp-pqqp-qppq$ Zumindest bin ich mir nicht sicher, wie ich noch weiter vereinfachen kann. Viele davon sehen aus wie die Form von Antikommutatoren, die keine nützlichen Informationen zu liefern scheinen, wenn es darum geht, Q in eine Zahl umzuwandeln. Jede Hilfe wäre willkommen!

BEARBEITEN::

So weit bin ich gekommen.
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JoshPhysik

Als terminologische Anmerkung (weil ich mich erinnere, dass ich dadurch verwirrt war), ist mit "Q ist eine Zahl" gemeint, dass "Q eine mit dem Identitätsoperator multiplizierte Zahl ist".

Girardi

Sie sollten Fragen posten, keine Themen... Dies ist eine Frage-und-Antwort-Website, kein Forum.

QMechaniker

Hinweis zu den Notizen (v3): Wenn Sie von beginnen

p^{2} q^{2}

$p^2q^2$ (und seine anderen Bestellungen) und über das CCR reduzieren, können Sie nur Bedingungen erhalten

p^{2} q^{2}

$p^2q^2$ ,

i ℏ p q

$i\hbar pq$ , Und

ℏ^{2}

$\hbar^2$ (und ihre anderen Befehle). Putten

ℏ = 1

$\hbar=1$ , könnte man möglicherweise einen Begriff bekommen

(p q)^{2}

$(pq)^2$ , aber nie einen Begriff bekommen

i (p q)^{2}

$i(pq)^2$ wie Sie in Ihren Notizen haben.

yankeefan11

Ich habe es überarbeitet und festgestellt, dass ich versehentlich i(pq)^2 falsch getragen habe. Am Ende habe ich immer noch einen Operatorbegriff, der keine AC-Nummer ist

yankeefan11

Okay. Ich glaube, ich habe es gelöst. Haben Sie es zufällig auch gemacht und festgestellt, dass dies zu -1 führt?

Antworten (1)

Hilfe beim Vereinfachen einer Kommutatorgleichung

Als terminologische Anmerkung (weil ich mich erinnere, dass ich dadurch verwirrt war), ist mit "Q ist eine Zahl" gemeint, dass "Q eine mit dem Identitätsoperator multiplizierte Zahl ist".
Sie sollten Fragen posten, keine Themen... Dies ist eine Frage-und-Antwort-Website, kein Forum.
Hinweis zu den Notizen (v3): Wenn Sie von beginnen $p^2q^2$ (und seine anderen Bestellungen) und über das CCR reduzieren, können Sie nur Bedingungen erhalten $p^2q^2$ , $i\hbar pq$ , Und $\hbar^2$ (und ihre anderen Befehle). Putten $\hbar=1$ , könnte man möglicherweise einen Begriff bekommen $(pq)^2$ , aber nie einen Begriff bekommen $i(pq)^2$ wie Sie in Ihren Notizen haben.
Ich habe es überarbeitet und festgestellt, dass ich versehentlich i(pq)^2 falsch getragen habe. Am Ende habe ich immer noch einen Operatorbegriff, der keine AC-Nummer ist
Okay. Ich glaube, ich habe es gelöst. Haben Sie es zufällig auch gemacht und festgestellt, dass dies zu -1 führt?

QMechaniker · Answer 1

Hinweis: $pq$ -Befehl $^1$ Dein letzter Ausdruck

2 (P^{2} Q^{2} + Q^{2} P^{2}) - (P Q + Q P)^{2} .

$2(p^2q^2+q^2p^2)-(pq+qp)^2.$

p q

$pq$ -Bestellung bedeutet pendeln alle

p

$p$ 's auf der linken Seite und alle

q

$q$ 's auf der rechten Seite durch Verwendung

^{2}

$^2$ die CCR -Formel

q p = p q + i ℏ 1

$qp = pq +i\hbar{\bf 1}$ , möglicherweise wiederholt. (Es gibt kürzere Wege, aber

p q

$pq$ -Ordnung ist zumindest ein systematischer Ansatz.) Was bleibt, wird sein a

c

$c$ -Nummer. Tatsächlich ist das Ergebnis

- 3 ℏ^{2} 1

$-3\hbar^2{\bf 1}$ .

--

$^1$ Oder alternativ, $qp$ -Ordnen Sie Ihren letzten Ausdruck.

$^2$ Hier ist ein Beispiel für die $pq$ -Bestellvorgang: $qp^n = p^nq +i\hbar n p^{n-1}$ .

Ja, das ist ein Beispiel für Pendeln a $p$ Nach links. Jedes Mal, wenn Sie ein Produkt sehen $qp$ Ersetzen Sie in Ihrer letzten Formel auf der rechten Seite dieser Gleichung für $qp$ .
Was ist also mit einem Fall von qpqp, würde das zu (pq+[q,p])(pq+[q,p]) gehen?
Ja, und dann haben Sie 1 C-Nummer, zwei Zwei-Operator-Begriffe mit allem $p$ 's auf der linken Seite und $q$ 's auf der rechten Seite, aber dann haben Sie einen Term mit vier Operatoren, der nicht ist $pq$ bestellt. Sie müssen Ihre Ersetzung erneut vornehmen, um den letzten zu verschieben $p$ durch das $q$ .
Ich habe auch einen Begriff, der p ^ 2 q ^ 2 ist, wie wird das zu einer ac-Zahl?
Ich gehe sehr sorgfältig durch und am Ende komme ich auf 2pqqp-2+1
@yankeefan11: Es wird ein $c$ -Nummer. Versuchen Sie es erneut.
Ich habe ein Bild von meiner Mathematik hinzugefügt. Sehen Sie irgendwelche Fehler in Minuszeichen oder so?

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