Kommutierung des Drehimpulsoperators [geschlossen]

ich nehme an$\hbar=1$.

$$\hat{\bf x}\cdot \hat{\bf p}= \frac{1}{2}\hat{\bf x}\cdot \hat{\bf p}+ \frac{1}{2}\hat{\bf x}\cdot \hat{\bf p} = \frac{1}{2}\left(\hat{\bf x}\cdot \hat{\bf p} + \hat{\bf p}\cdot \hat{\bf x}\right) + 3i I = \frac{1}{2}\left[(\hat{\bf x} + \hat{\bf p})^2 - \hat{\bf x}^2 - \hat{\bf p}^2\right] + 3 i I\:.$$ Der Term ganz rechts pendelt mit$\hat{L}_i$weil es eine Summe von vier Skalaren unter Drehungen ist. Ein anderer Ansatz (der nicht die in der anderen Antwort beschriebene direkte Berechnung ist) ist $$e^{-i \theta L_i} \hat{\bf x}\cdot \hat{\bf p} e^{i \theta L_i}= e^{-i \theta L_i} \hat{\bf x} e^{i \theta L_i} e^{-i \theta L_i}\cdot \hat{\bf p} e^{i \theta L_i} = (R_\theta \hat{\bf x}) \cdot (R_\theta \hat{\bf p})= \hat{\bf x}\cdot \hat{\bf p}$$ Wo$R_\theta$ist die Drehung von$SO(3)$um${\bf e}_i$des Winkels$\theta$. Die Ableitung fort nehmen$\theta=0$von beiden Seiten von $$e^{-i \theta L_i} \hat{\bf x}\cdot \hat{\bf p} e^{i \theta L_i}= \hat{\bf x}\cdot \hat{\bf p}$$ wir haben $$[L_i,\hat{\bf x}\cdot \hat{\bf p} ]=0\:.$$

Sie können das Kommutierungsverhältnis direkt berechnen$[L_i,x_jp_j]$. Die Leibniz-Regel entspricht dem$[L_i,x_j]p_j+x_j[L_i,p_j]$.

Vollständig ausgeschrieben, das ist$\epsilon_{ilm}[x_lp_m,x_j]p_j+x_j\epsilon_{ilm}[x_lp_m,p_j]$.

Verwenden Sie jetzt einfach wieder die Leibniz-Regel ($[A,BC]=B[A,C]+[A,B]C$) und die kanonischen Vertauschungsbeziehungen ($[x_a,x_b]=[p_a,p_b]=0$Und$[x_a,p_b]=i \hbar \delta_{ab}$).