Knifflige Operatoridentität: [L2,[L2,r⃗ ]]=2ℏ2{L2,r⃗ }[L2,[L2,r→]]=2ℏ2{L2,r→}[L^2,[L^2,\vec {r}]]=2 \hbar ^2 \{ L^2, \vec{r}\}?

Das Symbol$r$in der Identität repräsentiert (und wird im folgenden Text repräsentieren) den gesamten dreikomponentigen Vektor von Operatoren$\hat{\vec r} = (\hat x, \hat y, \hat z)$.

Der einfache Weg, den ich gefunden habe, um die Identität zu beweisen, besteht darin, zu überprüfen, ob alle Matrixelemente beider Seiten übereinstimmen. Lassen Sie uns die Matrixelemente der Operatoren berechnen$LHS,RHS$zwischen

$$\langle j,m,a| LHS| k,n,b\rangle$$ und analog für die rechte Seite. Hier, $j,m$Und $k,n$sind die üblichen Gesamtdrehimpulse (die ich als ganze Zahlen annehmen werde, nur der Fall des Bahndrehimpulses) und die $z$-Komponente u $a,b$stellen die anderen Quantenzahlen dar, die keine Rolle spielen.

Der Vorteil ist das$\vec L$kombinieren zu$L^2$fast überall. Der Operator auf der linken Seite ist

$$L^2 L^2 r - 2 L^2 r L^2 + r L^2 L^2$$ also das Matrixelement (weil $L^2$wirkt auf einfache Weise entweder auf den Bra- oder den Ket-Vektor) ist dasselbe wie das Matrixelement von $$\hbar^4 r[ j(j+1)j(j+1) - 2j(j+1)k(k+1) + k(k+1)k(k+1)]$$ Der Koeffizient in Klammern ist gleich einem vollständigen Quadrat, $$\hbar^4 r [j(j+1)-k(k+1)]^2$$ Beachten Sie, dass $\hbar^4 r$ist in jeder Hinsicht. Die rechte Seite hat die gleichen Matrixelemente wie der Operator $$2\hbar^4 r [j(j+1) + k(k+1)]$$ Sie sehen nicht "offensichtlich" gleich aus: Einer ist quadratisch, einer ist quadratisch. Aber wir müssen erkennen, dass die Betreiber auf beiden Seiten sind $j=1$Vektoroperatoren, von der $\vec r$Faktor, sie ändern also den Drehimpuls nur um Null bzw $\pm 1$.

Es genügt also, die Ausdrücke für diese drei Möglichkeiten zu vergleichen; für höhere Änderungen von$j$, verschwinden die Matrixelemente auf beiden Seiten eindeutig (und sind daher gleich). Für$j=k$, verschwindet das Matrixelement wegen der Parität:$r$trägt die negative Parität, während die Paritäten$(-1)^l$Sind$(-1)^j$oder$(-1)^k$für die Bra/Ket-Vektoren.

Für$j=k+1$, die LHS ist

$$\hbar^4 r (k+1)^2 (k+2 - k)^2 = 4\hbar^2 r (k+1)^2$$ während die RHS ist $$2\hbar^4 r[(k+1)(k+2)+k(k+1)]= 4\hbar^4 r(k+1)^2$$ es funktioniert also. Die gleiche Überprüfung gilt für den Fall $k=j+1$, auch nur $j,k$sind vertauscht.

Es gibt viele andere Möglichkeiten, die Identität zu berechnen oder zu überprüfen, aber ich fand diese am einfachsten. Beachten Sie, dass ich keine Koordinaten annehme; Die obige abstrakte Berechnung funktioniert in allen Koordinaten.

I) Fürs Protokoll, hier ist die Operatorberechnung, die OP vermeiden möchte. Der Vorteil der Berechnung besteht darin, dass die Operatoren nicht zwischen einer Bra/Ket-Darstellung liegen und wir uns daher keine Gedanken darüber machen müssen, ob die Bra/Ket-Darstellung treu ist. Lassen Sie uns setzen$\hbar=1$der Einfachheit halber. Ausgangspunkt ist das CCR

$$[x^i, p_j]~=~\mathrm{i}\delta^i_j .\tag{1}$$

Der CCR (1) sorgt für die Definition des Bahndrehimpulsoperators

$$L_i~:=~\varepsilon_{ijk}~ x^jp_k~\stackrel{(1)}{=}~-\varepsilon_{ijk}~ p_jx^k \tag{2}$$ hermitesch ist und nicht unter Mehrdeutigkeiten der Operatorordnung leidet. Insbesondere stehen Ort und Drehimpuls als Operatoren senkrecht aufeinander $$x^i L_i~\stackrel{(2)}{=}~0~\stackrel{(2)}{=}~L_i x^i \tag{3}.$$ Einsteins Summationskonvention wird in dieser Antwort überall implizit angenommen.

II) Lassen Sie uns nun die linke Seite der OP-Identität berechnen.

$$[L_i,x^j]~=~\mathrm{i}\varepsilon_{ijk}~ x^k \tag{4}$$

$$\Downarrow$$

$$[L^2,x^j]~=~\{L_i ,[L_i,x^j]\} ~\stackrel{(4)}{=}~\mathrm{i} \varepsilon_{ijk}~\{L_i ,x^k\} \tag{5}$$

$$\Downarrow$$

$$[L^2,[L^2,x^j]]~\stackrel{(5)}{=}~ \mathrm{i} \varepsilon_{ijk}~\{L_i ,[L^2,x^k]\} ~\stackrel{(5)}{=}~ \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{k\ell n}\{L_i , \{L_{\ell} ,x^n\} \}$$ $$~=~ \left(\delta_{i\ell}\delta_{jn} -\delta_{j\ell}\delta_{in} \right)\{L_i , \{L_{\ell} ,x^n\} \} ~=~ \{L_i , \{L_i ,x^j\} \} -A_j, \tag{6}$$ Wo $$A_j~:=~ \{L_i , \{L_j ,x^i\} \} ~\stackrel{(3)}{=}~ [L_i , [L_j ,x^i] ] ~\stackrel{(4)}{=}~ \mathrm{i}\varepsilon_{ijk}[L_i ,x^k ] ~\stackrel{(4)}{=}~ \varepsilon_{jik}\varepsilon_{ik\ell}~x^{\ell}~=~2x^j .\tag{7}$$

III) Andererseits gibt die RHS nach

$$2\{L^2, x^j\}~=~L_i \left( \{ L_i, x^j\} + [ L_i, x^j] \right)+\left( \{ x^j, L_i \} + [ x^j, L_i ] \right) L_i ~=~ \{L_i , \{L_i ,x^j\} \} +B_j,\tag{8}$$

Wo

$$B_j ~:=~ L_i[ L_i, x^j] +[ x^j, L_i ]L_i ~\stackrel{(4)}{=}~\mathrm{i}\varepsilon_{ijk}[L_i,x^k] ~\stackrel{(4)}{=}~-\varepsilon_{ijk} \varepsilon_{ik\ell}~x^{\ell}~=~-2x^j. \tag{9}$$

IV) Wenn wir die LHS und die RHS vergleichen, erhalten wir die gesuchte Identität von OP

$$[L^2,[L^2,x^j]]~=~2\{L^2, x^j\} . \tag{10}$$