Wie kommt r¯×(∇¯×)−∇¯×(r¯×)r¯×(∇¯×)−∇¯×(r¯×)\bar{r}\times(\bar{\nabla} \times) - \bar{\nabla}\times(\bar{r}\times) beziehen sich auf den Bahndrehimpulsoperator?

In Einstein-Summenschreibweise würden wir schreiben

$$\vec U = \vec r \times(\nabla\times\vec F) - \nabla\times(\vec r\times\vec F),$$ mit einem Levi-Civita-Symbol $\epsilon_{ijk}$als: $$U_a = \epsilon_{abc} ~r_b ~\epsilon_{cde} ~\partial_d ~F_e - \epsilon_{abc} ~\partial_b ~\epsilon_{cde} ~r_d ~F_e.$$ Seit $\epsilon$variiert nicht mit dem Raum, mit dem wir es pendeln können $\partial_b$auf der rechten Seite führt zu $$U_a = \epsilon_{abc}~\epsilon_{cde}\left( r_b ~\partial_d ~F_e - \delta_{bd} F_e - r_d ~\partial_b ~ F_e\right),$$ und außerdem haben wir die "BAC-CAB"-Regel $\epsilon_{abc}\epsilon_{cde}$kann nur dann ungleich Null sein, wenn entweder $a = d$Und $b = e$(mit Koeffizient +1) oder wann $a = e$Und $b = d$(mit Koeffizient -1), so dass es umgeschrieben werden kann als $\delta_{ad}\delta_{be} - \delta_{ae}\delta_{bd}.$Dann ist dieser Ausdruck also $$U_a = (\delta_{ad}\delta_{be} - \delta_{ae}\delta_{bd}) \left(r_b ~\partial_d ~F_e - \delta_{bd} F_e - r_d ~\partial_b ~ F_e\right),$$ woher der Begriff $\delta_{bd} F_e$wird immer verschwinden, wie wir bekommen $\delta_{ae} F_e - \delta_{ae} F_e = 0.$Ebenso leiden die anderen Begriffe darunter $\delta_{bd}$Bildung $r_b \partial_b F_a - r_b \partial_b F_a = 0.$Bleibt also nur noch der Begriff $\delta_{ad}\delta_{be}$eins, führt zu $$U_a = r_b ~\partial_a ~F_b - r_a ~\partial_b ~ F_b.$$ Der erste Term kann umgeschrieben werden als $\partial_a(r_b F_b) - F_a,$so kann dies geschrieben werden als $$\vec U = \nabla(\vec r\cdot \vec F) - \vec r (\nabla \cdot \vec F) - \vec F.$$

Dies sieht auch ein wenig wie eine BAC-CAB-Regel aus, kann aber nicht die Form haben$A \times (B \times C)$weil das$\nabla$würde wahrscheinlich nicht handeln$F$, also lassen Sie uns stattdessen zielen$(A \times B) \times C = B (A \cdot C) - A (B\cdot C)$mit$A = r$,$B = \nabla$.

Mit anderen Worten, lasst uns rechnen

$$\vec V = (\vec r \times \nabla) \times F,$$ was wir genauso machen, aber mit $$V_a = \epsilon_{abc} \epsilon_{bde} r_d \partial_e F_c.$$ Das relevante $\epsilon \propto \delta\delta$Analysenergebnisse: $$V_a = (\delta_{ae} \delta_{cd} - \delta_{ad} \delta_{ce}) r_d \partial_e F_c = r_c \partial_a F_c - r_a \partial_c F_c = U_a.$$

Mit anderen Worten,

$$\Big[\big(\vec r \times\big),~ \big(\nabla \times\big)\Big] = \frac{i}{\hbar} \big(\hat L \times\big).$$