Welche physikalische Bedeutung hat die Dipoltransformation der Maxwellschen Gleichungen?

Question

Welche physikalische Bedeutung hat die Dipoltransformation der Maxwellschen Gleichungen?

Physik
Dipolmoment
magnetisches Moment
Elektromagnetismus
Maxwell-Gleichungen

linuxfreebird

Die Frage

Gegeben Maxwellsche Gleichungen der Form

\begin{aligned} \bar{\nabla} \times \bar{B} = \frac{4 π}{C} \bar{J} + \partial_{0} \bar{E} \\ \bar{\nabla} \times \bar{E} = - \partial_{0} \bar{B} \\ \bar{\nabla} \cdot \bar{B} = 0 \\ \bar{\nabla} \cdot \bar{E} = 4 π ρ, \end{aligned}

$\begin{align} \bar{\nabla}\times \bar{B} = \dfrac{4\pi}{c} \bar{J} + \partial_0 \bar{E} \\ \bar{\nabla}\times \bar{E} = -\partial_0 \bar{B} \\ \bar{\nabla} \cdot \bar{B}=0 \\ \bar{\nabla} \cdot \bar{E} = 4 \pi \rho, \end{align}$ Was ist die physikalische Bedeutung der folgenden Transformation der Maxwell-Gleichungen:

\begin{aligned} (Amp-Far Dipole) & - ich \bar{\nabla} \times \bar{G} + \bar{\nabla} G_{0} = \frac{4 π}{C} \bar{R} + \partial_{0} \bar{G} \\ (Gauß-Dipol) & \bar{\nabla} \cdot \bar{G} - \partial_{0} G_{0} = 4 π R_{0}, \end{aligned}

$\begin{align} -i \bar{\nabla} \times \bar{G} + \bar{\nabla} G_0 = \dfrac{4\pi}{c} \bar{R} + \partial_{0}\bar{G} \tag{Amp-Far Dipole} \\ \bar{\nabla} \cdot \bar{G} - \partial_{0}G_0 = 4\pi R_0 , \tag{Gauss Dipole} \end{align}$ Wo

\bar{G} = (i \bar{r} \times \bar{F} - x_{0} \bar{F})

$\bar{G} =(i\bar{r} \times\bar{F}-x_0 \bar{F})$ ,

G_{0} = (\bar{r} \cdot \bar{F})

$G_0 = (\bar{r} \cdot \bar{F})$ ,

\bar{R} = (ρ c \bar{r} - x_{0} \bar{J} + i \bar{r} \times \bar{J})

$\bar{R} = (\rho c \bar{r}-x_0\bar{J}+i \bar{r} \times\bar{J})$ ,

R_{0} = (\bar{r} \cdot \bar{J} - x_{0} ρ c) / c

$R_0 = (\bar{r}\cdot\bar{J} - x_0\rho c)/c$ Und

\bar{F} = \bar{E} - i \bar{B}

$\bar{F} = \bar{E} - i \bar{B}$ .

Die Definitionen

In diesem Beitrag beziehe ich mich auf (Amp-Far Dipole) und (Gauss Dipole) als die Dipolgleichungen, weil ich nicht weiß, wie die tatsächlichen Namen lauten oder wer diese Gleichungen zuerst veröffentlicht hat. Ich bin zufällig auf Bleistift und Papier darüber gestolpert.

$x_0 = ct$ ist die Zeitvariable multipliziert mit der Lichtgeschwindigkeit für Zwecke der komprimierten Notation.

$\bar{R}$ ist die komplexe Kombination der elektrischen Dipolfelddichte $\rho c \bar{r}-x_0\bar{J}$ und die magnetische Dipolfelddichte $\bar{r} \times\bar{J}$ .

$\bar{R}$ wird in den Dipolgleichungen als fiktiver Strom interpretiert (Amp-Far Dipole). Die entsprechende fiktive Ladungsdichte von $\bar{R}$ Ist $R_0$ , was gleich dem Minkowski-Innerprodukt der Viererposition und des Viererstroms ist.

Körperliche Folgen

Obwohl $R_0$ Und $\bar{R}$ fiktive Ladung und Strom sind, werden sie als Strom erhalten, wenn $G_0 = 0$ . Dies impliziert das $G_0$ bricht Ladungserhaltung der fiktiven Ladung und Strom $R_0$ Und $\bar{R}$ .

Eine interessante Folge der Dipolgleichungen ist, dass sie mit den Maxwellschen Gleichungen identisch sind, wenn $G_0 = 0$ .

Komplexe Formulierung der Maxwell-Gleichungen

Ich schreibe zuerst das Amperesche Gesetz, das Faradaysche Gesetz und das Gaußsche Gesetz in komplexer Form

\begin{aligned} (Amp-Far) & - ich \bar{\nabla} \times \bar{F} = \frac{4 π}{C} \bar{J} + \partial_{0} \bar{F} \\ (Gauß) & \bar{\nabla} \cdot \bar{F} = 4 π ρ, \end{aligned}

$\begin{align} -i\bar{\nabla} \times \bar{F} = \dfrac{4\pi}{c} \bar{J} + \partial_{0} \bar{F} \tag{Amp-Far} \\ \bar{\nabla} \cdot \bar{F} = 4\pi \rho \tag{Gauss} , \end{align}$ Wo

\bar{F} = \bar{E} + i \bar{B}

$\bar{F} = \bar{E} + i \bar{B}$ .

Formulierung des Ampere-Faraday-Gesetzes in Dipolform

Ich verwende die folgende Differenzialvektorrechnungsidentität

\begin{aligned} \bar{R} \times (\bar{\nabla} \times) + \bar{R} (\bar{\nabla} \cdot) + X_{0} (\partial_{0}) = \bar{\nabla} \times (\bar{R} \times) + \bar{\nabla} (\bar{R} \cdot) + \partial_{0} (X_{0}) \end{aligned}

$\begin{align} \bar{r} \times (\bar{\nabla} \times) + \bar{r} (\bar{\nabla} \cdot) + x_0(\partial_{0}) = \bar{\nabla} \times (\bar{r} \times) + \bar{\nabla} (\bar{r} \cdot) + \partial_{0}(x_0) \end{align}$ um (Amp-Far) in Folgendes umzuwandeln:

\begin{aligned} \bar{R} \times (\bar{\nabla} \times \bar{F}) + \bar{R} (\bar{\nabla} \cdot \bar{F}) + X_{0} (\partial_{0} \bar{F}) = \\ \bar{R} \times (ich \frac{4 π}{C} \bar{J} + ich \partial_{0} \bar{F}) + \bar{R} (4 π ρ) + X_{0} (- ich \bar{\nabla} \times \bar{F} - \frac{4 π}{C} \bar{J}) = \\ \frac{4 π}{C} (ich \bar{R} \times \bar{J}) + \partial_{0} (ich \bar{R} \times \bar{F}) + 4 π (ρ \bar{R}) - ich \bar{\nabla} \times (X_{0} \bar{F}) - \frac{4 π}{C} (X_{0} \bar{J}) = \\ \bar{\nabla} \times (\bar{R} \times \bar{F}) + \bar{\nabla} (\bar{R} \cdot \bar{F}) + \partial_{0} (X_{0} \bar{F}), \end{aligned}

$\begin{align} \bar{r} \times (\bar{\nabla} \times \bar{F}) + \bar{r} (\bar{\nabla} \cdot \bar{F}) + x_0(\partial_{0} \bar{F}) =\\ \bar{r} \times \left( i\dfrac{4\pi}{c} \bar{J} + i\partial_{0} \bar{F} \right) + \bar{r} \left(4\pi \rho\right) + x_0\left(-i\bar{\nabla} \times \bar{F} - \dfrac{4\pi}{c} \bar{J}\right) =\\ \dfrac{4\pi}{c} (i\bar{r} \times\bar{J}) + \partial_{0} (i\bar{r} \times\bar{F}) + 4\pi \left( \rho \bar{r} \right) - i\bar{\nabla} \times (x_0\bar{F}) - \dfrac{4\pi}{c} (x_0\bar{J}) =\\ \bar{\nabla} \times (\bar{r} \times \bar{F}) + \bar{\nabla} (\bar{r} \cdot \bar{F}) + \partial_{0}(x_0 \bar{F}) , \end{align}$ was sich auf den folgenden Ausdruck reduziert

\begin{aligned} - ich \bar{\nabla} \times (ich \bar{R} \times \bar{F} - X_{0} \bar{F}) + \bar{\nabla} (\bar{R} \cdot \bar{F}) = \\ \frac{4 π}{C} (ρ C \bar{R} - X_{0} \bar{J} + ich \bar{R} \times \bar{J}) + \partial_{0} (ich \bar{R} \times \bar{F} - X_{0} \bar{F}) . \end{aligned}

$\begin{align} -i \bar{\nabla} \times \left( i\bar{r} \times \bar{F} - x_0\bar{F} \right) + \bar{\nabla} (\bar{r} \cdot \bar{F}) =\\ \dfrac{4\pi}{c} \left( \rho c \bar{r} - x_0\bar{J} + i \bar{r} \times\bar{J} \right) + \partial_{0} \left( i\bar{r} \times\bar{F} - x_0 \bar{F} \right) . \end{align}$ Man kann die folgenden Substitutionen durchführen

\bar{G} = (i \bar{r} \times \bar{F} - x_{0} \bar{F})

$\bar{G} =(i\bar{r} \times\bar{F}-x_0 \bar{F})$ ,

G_{0} = (\bar{r} \cdot \bar{F})

$G_0 = (\bar{r} \cdot \bar{F})$ , Und

\bar{R} = (ρ c \bar{r} - x_{0} \bar{J} + i \bar{r} \times \bar{J})

$\bar{R} = (\rho c \bar{r}-x_0\bar{J}+i \bar{r} \times\bar{J})$ erhalten

\begin{aligned} (Amp-Far Dipole) & - ich \bar{\nabla} \times \bar{G} + \bar{\nabla} G_{0} = \frac{4 π}{C} \bar{R} + \partial_{0} \bar{G} . \end{aligned}

$\begin{align} -i \bar{\nabla} \times \bar{G} + \bar{\nabla} G_0 = \dfrac{4\pi}{c} \bar{R} + \partial_{0}\bar{G} . \tag{Amp-Far Dipole} \end{align}$

Formulierung des Gaußschen Gesetzes in Dipolform

Ich verwende die folgende Differenzialvektorrechnungsidentität

\begin{aligned} - X_{0} (\nabla \cdot) + \bar{R} \cdot (- ich \bar{\nabla} \times) = \bar{\nabla} \cdot (ich (\bar{R} \times) - X_{0}) \end{aligned}

$\begin{align} -x_0 (\nabla\cdot) + \bar{r}\cdot (-i\bar{\nabla}\times) = \bar{\nabla} \cdot (i(\bar{r}\times)- x_0) \end{align}$ um (Gauß) in Folgendes umzuwandeln:

\begin{aligned} - X_{0} (\nabla \cdot \bar{F}) + \bar{R} \cdot (- ich \bar{\nabla} \times \bar{F}) = \\ - X_{0} (4 π ρ) + \bar{R} \cdot (\frac{4 π}{C} \bar{J} + \partial_{0} \bar{F}) = \\ \frac{4 π}{C} (\bar{R} \cdot \bar{J} - X_{0} ρ C) + \partial_{0} (\bar{R} \cdot \bar{F}) = \\ \bar{\nabla} \cdot (ich \bar{R} \times \bar{F} - X_{0} \bar{F}), \end{aligned}

$\begin{align} -x_0 (\nabla\cdot\bar{F}) + \bar{r}\cdot (-i\bar{\nabla}\times\bar{F}) =\\ -x_0 (4\pi \rho) + \bar{r}\cdot \left(\dfrac{4\pi}{c} \bar{J} + \partial_{0} \bar{F}\right) =\\ \dfrac{4\pi}{c} (\bar{r}\cdot\bar{J} - x_0\rho c) + \partial_{0} (\bar{r}\cdot\bar{F}) =\\ \bar{\nabla} \cdot (i\bar{r}\times\bar{F} - x_0\bar{F}) , \end{align}$ was sich auf den folgenden Ausdruck reduziert

\begin{aligned} \bar{\nabla} \cdot (ich \bar{R} \times \bar{F} - X_{0} \bar{F}) - \partial_{0} (\bar{R} \cdot \bar{F}) = \frac{4 π}{C} (\bar{R} \cdot \bar{J} - X_{0} ρ C) . \end{aligned}

$\begin{align} \bar{\nabla} \cdot (i\bar{r}\times\bar{F} - x_0\bar{F}) - \partial_{0} (\bar{r}\cdot\bar{F}) = \dfrac{4\pi}{c} (\bar{r}\cdot\bar{J} - x_0\rho c) . \end{align}$ Man kann die folgenden Substitutionen durchführen

R_{0} = (\bar{r} \cdot \bar{J} - x_{0} ρ c) / c

$R_0 = (\bar{r}\cdot\bar{J} - x_0\rho c)/c$ erhalten

\begin{aligned} (Gauß-Dipol) & \bar{\nabla} \cdot \bar{G} - \partial_{0} G_{0} = 4 π R_{0} . \end{aligned}

$\begin{align} \bar{\nabla} \cdot \bar{G} - \partial_{0}G_0 = 4\pi R_0 . \tag{Gauss Dipole} \end{align}$

Kyle Kanos

(a) Was ist

x_{0}

$x_0$ ? (b) Was ist Ihre Frage? (c) Wie soll ich mir diese Begriffe physikalisch vorstellen ?

Kyle Kanos

Sie haben (2) nicht angesprochen (was in Bezug auf diese Site das wichtigste ist). Und die Begriffe, auf die ich mich bezog, sind Ihre "Dipol"-Begriffe,

F

$F$ Und

G

$G$ ; wie soll ich an diese denken. Ich glaube Ihrer Mathematik, ich sehe einfach nicht die Verwendung des oben Genannten.

linuxfreebird

@KyleKanos Ändert sich das Adressproblem (2)? Danke.

Antworten (2)

Welche physikalische Bedeutung hat die Dipoltransformation der Maxwellschen Gleichungen?

(a) Was ist $x_0$ ? (b) Was ist Ihre Frage? (c) Wie soll ich mir diese Begriffe physikalisch vorstellen ?
Sie haben (2) nicht angesprochen (was in Bezug auf diese Site das wichtigste ist). Und die Begriffe, auf die ich mich bezog, sind Ihre "Dipol"-Begriffe, $F$ Und $G$ ; wie soll ich an diese denken. Ich glaube Ihrer Mathematik, ich sehe einfach nicht die Verwendung des oben Genannten.

Muphrid · Answer 1

Es ist keine explizite Komplexierung erforderlich, um diese Aufschlüsselung der Maxwell-Gleichungen herzuleiten. Dies kann vollständig durch den realen Vektorraum der speziellen Relativitätstheorie verstanden werden.

Beginnen wir mit Maxwells Gleichungen für das EM-Feld, in der Sprache der Clifford-Algebra namens STA: die Raum-Zeit-Algebra. Die Maxwell-Gleichungen nehmen die Form an

\nabla F = - J

$\nabla F = -J$

Wo $\nabla F = \nabla \cdot F + \nabla \wedge F$ , $F = e_0 E + B \epsilon_3$ , im $(-, +, +, +)$ Konvention unterzeichnen.

Lassen $x$ sei der Raumzeit-Positionsvektor. Es ist im Allgemeinen wahr, dass für einen Vektor $v$ und ein konstanter Bivektor $C$ ,

\nabla (C \cdot X) = - 2 C, \nabla (C \land X) = 2 C ⟹ \nabla (C X) = 0

$\nabla (C \cdot x) = -2 C, \quad \nabla (C \wedge x) = 2C \implies \nabla (Cx) = 0$

Man kann dann den Ausdruck auswerten

\nabla (F X) = (\nabla F) X + \dot{\nabla} (F \dot{X})

$\nabla (Fx) = (\nabla F)x + \dot \nabla (F \dot x)$

wobei der Überpunkt nur das bedeutet $x$ wird im zweiten Term differenziert; Anwendung der Produktregel, $F$ wird "konstant gehalten" und somit gelten obige Formeln. Wir haben gerade argumentiert, dass der zweite Term Null ist, also bekommen wir $\nabla (Fx) = (\nabla F) x$ . Damit gelangen wir zu folgender Transformation der Maxwellschen Gleichungen:

\nabla (F X) = - J X

$\nabla (Fx) = -Jx$

Jetzt konnten wir immer schreiben $F$ als "komplexer Bivektor" in dem Sinne, dass mit $\epsilon = e_0 \epsilon_3$ , Und $\epsilon \epsilon = -1$ , wir haben

F = e_{0} E - B ϵ_{3} e_{0} ϵ_{3} ϵ = e_{0} (E + ϵ B)

$F = e_0 E - B \epsilon_3 e_0 \epsilon_3 \epsilon = e_0 (E + \epsilon B)$

Es ist wichtig, das zu beachten $\epsilon$ pendelt mit keinem Vektor.

Was sind die Bestandteile von $Fx$ ? Schreiben $x = t e_0 + r$ und wir können sie schreiben als

F X = e_{0} (E X + ϵ B X) = e_{0} (E \cdot R + E \land R - e_{0} E T + ϵ B \cdot R - e_{0} B \times R + ϵ B T e_{0})

$Fx = e_0 (Ex + \epsilon Bx) = e_0 (E \cdot r + E \wedge r - e_0 Et + \epsilon B \cdot r - e_0 B \times r + \epsilon B t e_0)$

Auch dies kann in einer "komplexen" Form geschrieben werden:

F X = (e_{0} E \cdot R + E T + B \times R) + ϵ (E \times R + e_{0} B \cdot R + B T)

$Fx = (e_0 E \cdot r + Et + B \times r) + \epsilon (E \times r + e_0 B\cdot r + Bt)$

Wir scheinen uns bei einigen Zeichen zu unterscheiden, aber dies ist erkennbar die gleiche Menge, die Sie aufgerufen haben $G$ .

Lassen Sie uns nun schreiben, um darüber zu sprechen, wie diese Gleichungen zusammenbrechen $G = G_1 + G_3$ , Wo $G_1 = (e_0 E \cdot r + \ldots)$ Und $G_3 = \epsilon (E \times r + \ldots)$ . Schreiben wir auch für $R = Jx = R_0 + R_2$ .

Die Maxwell-Gleichungen werden dann

\nabla \cdot G_{1} = R_{0}, \nabla \land G_{1} + \nabla \cdot G_{3} = R_{2}, \nabla \land G_{3} = 0

$\nabla \cdot G_1= R_0, \quad \nabla \wedge G_1 + \nabla \cdot G_3 = R_2, \quad \nabla \wedge G_3 = 0$

Die erste und dritte Gleichung sind die Komponenten des Gauß-Dipols; die zweite Gleichung ist die Ampere-Faraday-Dipolgleichung.

Nun, was hat das alles zu bedeuten? Der Ausdruck für $G = Fx$ enthält sowohl Rotationsmomente des EM-Felds als auch einige Skalarprodukte, so dass es sowohl misst, wie weit sich die Raumzeitposition in derselben Ebene wie das EM-Feld befindet, als auch wie weit die Raumzeitposition außerhalb der Ebene liegt.

Es ist wahrscheinlich aufschlussreicher, sich den Quellbegriff anzusehen $-Jx$ . Dies sagt uns sowohl über die Momente des Viererstroms als auch darüber, wie er auf den Koordinatenursprung zu oder von ihm weggeht. Die Beschreibung für die Momente liegt vollständig in der Ampere-Faraday-Dipolgleichung. Welche Art von Momenten würde dies beschreiben? Ein Paar von zwei entgegengesetzten Punktladungen in Ruhe, getrennt durch einen räumlichen Vektor $2 \hat v$ und auf den Ursprung zentriert, jeweils mit Ruhestrom $j_0$ , würde eine erstellen $R = Jx = + j_0 e_t \hat v - j_0 e_t (-\hat v) = 2 j_0 e_t \hat v$ , also würde dies vollständig durch die AF-Dipolgleichung beschrieben werden.

Das ist jedoch zum Zeitpunkt Null. Zu späteren Zeiten, $R$ wird diese seltsamen Zeitbegriffe aufgreifen. Sag, wir sind pünktlich $\tau$ . Dann $R = 2 j_0 e_t \hat v + j_0 e_t (\tau e_t) - j_0 e_t (\tau e_t)$ . Für diesen Fall gibt es also kein Problem: Die zusätzlichen Sachen werden einfach storniert. Eine einzige Ladung würde jedoch beginnen, diesen Begriff aufzuheben.

Mit wenigen Worten, diese Gleichungen sind seltsam .

Ich finde deine Antwort sinnvoll. Ich mochte die Verwendung des Wortes "seltsam". Wenn Sie Zeit haben, könnten Sie einen Versuch unter physical.stackexchange.com/questions/103535/… unternehmen ? Ich denke, diese Frage impliziert vielleicht die Möglichkeit einer vierten Komponente im Faraday-Feld? $G_0$ ist die vierte Komponente von $\bar{G}$ .
Da sollte man sich nicht täuschen lassen $G$ hat acht reelle Komponenten. Ein beliebiges Feld $P$ mit den gleichen Nicht-Null-Komponenten wie $G$ hätte 8 Freiheitsgrade haben können, ja. Wenn du multiplizierst $P$ von $x$ Auf der rechten Seite erhalten Sie 8 Zahlen: die 6 Bivektorkomponenten, eine skalare Komponente und eine pseudoskalare Komponente. Dies trifft nicht zu $G$ . Wenn du multiplizierst $Gx$ erhalten Sie, dass die skalaren und pseudoskalaren Komponenten Null sind. Obwohl $G$ hat acht Komponenten, nur sechs davon stellen echte Freiheitsgrade dar, ebenso wie der Faraday-Bivektor $F$ hat nur sechs Komponenten.
Ich kann mich nicht erinnern, ob Sie eine andere Frage von mir beantwortet haben. Ich denke, Sie sagen, dass F nur 6 Freiheitsgrade hat, da G mit F verwandt ist, also hat G nur 6 Freiheitsgrade. Was mein Interesse geweckt hat, war, dass G eine neue Variante von Maxwells Gleichungen mit einer mysteriösen vierten Feldkomponente ausdrückt. Wenn es eine vierte Komponente von F in der gleichen Form wie G gäbe, welche wäre das? Könnte es in Begriffen des Vier-Potentials ausgedrückt werden? Wenn F 8 unabhängige Komponenten hätte, dann hätte G 8 unabhängige Komponenten.
Ich werde diese Frage zu Ihrer eigentlichen Frage mit dieser Frage beantworten.

Brian Motten · Answer 2

Ich habe dies durchsucht und es sieht so aus, als könnten Sie Ihre Notation ein wenig verbessern. Sie können ein Produkt auf vier Vektoren definieren, die durch gegeben sind $(a^0,\vec{a}) * (b^0,\vec{b}) = (\vec{a} \cdot \vec{b} - a^0 b^0, b^0 \vec{a} - a^0 \vec{b} +i \vec{a} \times \vec{b})$ . Sie können auch ein verwandtes Produkt definieren $\bar{*}$ von $(a^0,\vec{a}) \bar{*} (b^0,\vec{b}) = (\vec{a} \cdot \vec{b} - a^0 b^0, b^0 \vec{a} - a^0 \vec{b} -i \vec{a} \times \vec{b})$ . Dann können Sie einen Vierervektor definieren $F$ von $F=(0,\vec{F})$ .

Dann werden die Maxwell-Gleichungen $\partial \bar{*} F = 4\pi j$ , können Sie einen 4-Vektor definieren $R=r * j$ , Und $G=r * F$ . Dies sind die vier Vektoranaloga von Ihnen $R$ Und $G$ . Nachdem Sie alles in Bezug auf diese Produkte formuliert haben, werden Ihre neuen Gleichungen $\partial \bar{*} G =4\pi R$ . Ich habe die physikalische Bedeutung nicht erklärt, aber hoffentlich macht das das Problem leichter nachzudenken. Ich hoffe auch, dass ich kein Minuszeichen falsch verstanden habe. Bitte kommentieren oder korrigieren Sie die Antwort, wenn ich es getan habe.

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Ich denke, ich kann einen Versuch machen und eine Interpretation geben, aber ich denke nicht, dass es zu aufschlussreich sein wird. Grundsätzlich kann man sich denken $G$ als Moment des Feldes, und $R$ als Moment der Strömung. Sie haben festgestellt, dass, wenn die Felder und Ströme die Maxwell-Gleichungen erfüllen, die Momente dies auch tun müssen. Dies erinnert mich daran, dass, wenn das Vier-Vektor-Potential die Feldgleichung erfüllt, dies auch die Felder tun müssen, da der Prozess der Differenzierung des Vektorpotentials mit der Anwendung des Feldoperators pendelt. Hier scheinen Sie also zu sagen, dass die Momente auch die Momente erfüllen müssen, wenn die Felder und Ströme die Maxwell-Gleichungen erfüllen, da der Prozess des Erfassens der Momente mit dem Anwenden pendelt $\partial \bar{*}$ .

Ich denke, Ihre Notation verwendet Bi-Quaternion? Ich denke, Sie vermissen ein Zeichen, aber die Idee ist die gleiche. Übrigens stellen Sie F und G als Vierkomponentenvektoren dar? Bitte werfen Sie einen Blick auf diese gepostete Frage: physical.stackexchange.com/questions/103535/…
Die Antwort in der verknüpften Frage ist so, wie ich es gewohnt bin, aber ich denke, wie Sie es hier gemacht haben, sieht interessant aus. Ich dachte, Biquaternionen wären relevant, aber ich wollte nicht, dass meine Vierervektoren als eine Art Quaternion interpretiert werden, obwohl sie ähnlich aussehen. $F$ ist ein Vierervektor, obwohl seine zeitähnliche Komponente Null ist. $G$ ist ebenfalls ein Vierervektor und hat im Allgemeinen eine von Null verschiedene Zeitkomponente. Wo war auch mein Vorzeichenfehler?
Ich habe versucht, eine physikalische Erklärung hinzuzufügen. Ich glaube nicht, dass es so hilfreich ist, aber es ist etwas.
Es wird einige Zeit dauern, bis ich das Problem mit den fehlenden Vorzeichen behoben habe. Es kommt auf die Wahl der Vorzeichenkonvention an. Um eine schnelle Lösung durchzuführen, schreiben Sie einfach * und -* als gleiche Ausdrücke und ändern Sie dann das Vorzeichen von a_0 in eins, und das wird das Vorzeichenproblem beheben, aber auch hier funktioniert die Auswahl einer der Vektorkomponentenkombinationen. Ich versuche herauszufinden, was die beste Wahl der Konvention ist.

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