Die spezielle Relativitätstheorie beschränkt masselose elektrische Dipole, aber nicht masselose magnetische Dipole?

Ich denke, das hat einige der Probleme in meiner ursprünglichen Frage zu elektronenelektrischen Dipolmomenten ziemlich durcheinander gebracht - daher hier einige Kommentare und vielleicht eine weitere implizite Frage zu den Lorentz-Transformationseigenschaften solcher Momente.

Der$-\mu\cdot {\bf B}$Die Energie eines stationären magnetischen Dipols, der mit einem Magnetfeld wechselwirkt, kann als Lorentz-invarianter Beitrag zu einer Lagrange-Funktion geschrieben werden$M_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$dies macht also deutlich, dass ein Dipolmoment natürlich ein schiefsymmetrisches Lorentz ist$2$-Tensor. Im Teilchenruhesystem wird ein magnetischer Dipol vorhanden sein

$$\mu_x= M_{23},\quad\mu_y = M_{31}, \quad \mu_z= M_{12}$$ mit $M_{01}=M_{02}= M_{03}=0$.

Für einen elektrischen Dipol hat ein stationäres Teilchen einen Wechselwirkungsterm$D_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$mit

$$d_x= D_{01}, \quad d_y= D_{02}, \quad d_z= D_{03}$$ wobei die anderen drei Komponenten verschwinden

Wenn das momentbehaftete Teilchen den bewegt$M_{0i}$Bestandteile der$2$-Tensor wird ungleich Null, und daher verhält sich ein sich bewegender magnetischer Dipol so, als hätte er ein elektrisches Dipolmoment. Wenn sich eine Stromschleife bewegt oder von einem sich bewegenden Koordinatensystem aus beobachtet wird, scheint sie Plus- und Minusladungen zu haben, die so angeordnet sind, dass sie ein elektrisches Dipolmoment besitzt, das senkrecht zu ihrer Bewegungsrichtung ist.

In ähnlicher Weise wird ein sich bewegender elektrischer Dipol so etwas wie einen magnetischen Dipolcharakter haben.

All dies setzt voraus, dass das Teilchen ein Ruhesystem hat. Ein masseloses Teilchen hat kein Ruhesystem, was passiert also mit den Momenten? Meine Aussage über den Moment eines masselos geladenen rotierenden Teilchens ergibt sich, wenn ich an ein solches Teilchen in einer kreisförmigen Zyklotronbahn denke. Sein Spin (und damit jedes magnetische Moment) ist gezwungen, in Bewegungsrichtung zu zeigen und muss daher mit der Zyklotronfrequenz präzedieren$\Omega_{\rm cyclotron}=eB/E$Wo$E$ist die Energie. Jetzt ist die Larmor-Präzessionsrate$\Omega_{\rm Larmor}= -B \mu/{\rm spin}$. Verwenden Sie dies also als Definition des effektiven Moments und Gleichsetzens$\Omega_{\rm Larmor}$mit$\Omega_{\rm cyclotron }$wir haben für Spin =1/2,

$$\mu= e/2E.$$
Dieses Ergebnis kann auch aus der Gordon-Zerlegung des Stroms für ein Weyl-Fermion oder durch ausgefeiltere Argumente [DT Son, N. Yamamoto, arXiv:1210.8158] erhalten werden. Weil das $\bar \psi \sigma_{\mu\nu}\psi$Pauli-Weiskopf-Term des anomalen magnetischen Moments identisch Null für Weyl-Teilchen ist, gibt es keine Möglichkeit, manuell eine Korrektur des anomalen magnetischen Moments zu der Weyl-Gleichung hinzuzufügen.

Weniger klar ist mir, wie diese phänomenologische Definition der Präzessionsrate von$\mu$passt zum 2-Tensor-Moment$M_{\mu\nu}$. Es ist genauso in der Maschinerie der Weyl-Gleichungen verborgen wie die$\mu =eg/2m\times 1/2$mit$g=2$Das Dirac-Magnetmoment ist in der Dirac-Maschinerie verborgen.

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Ben sagt ganz richtig, dass das obige seine Frage nicht beantwortet. Im Folgenden versuche ich zu erklären, warum das Problem der Lorentz-Transformationen für masselose Dipole (beide magnetisch-elektrisch) nicht einfach ist. Ich würde gerne ein physisches Bild (Bens Eis am Stiel) aus dem ziemlich komplizierten Formalismus extrahieren, aber es ist schwer, den Wald vor lauter Bäumen zu sehen ...

Beginnen wir mit dem Begriff des relativistischen "Spins" für einen ausgedehnten Körper mit einem konservierten Energie-Impuls-Tensor$T^{ab}$. Der Lorentz-Tensor gibt den Gesamtdrehimpuls des Körpers um den Ursprung an

$$M^{ab}= x^a p^b-x^b p^a+S^{ab},$$ Wo $x^a=(x^0,x^1,x^2,x^3)$ist die Raumzeitposition des Körpers, $$p^a= \int_{x^0=const} T^{0a}\,d^3x$$ sein Viererimpuls und der schiefsymmetrische Tensor $S^{ab}$ist sein "Eigendrehimpuls" - letzterer definiert als der Drehimpuls um den durch die Koordinaten gekennzeichneten Punkt im Körper $x^a$. Das Problem ist, dass es für ein relativistisches rotierendes Objekt keine natürliche Wahl für diesen Punkt gibt. Die offensichtliche Wahl, das "Massenzentrum" $$X^a_{\rm cm} \equiv \frac 1 E \int_{x^0=const} x^a T^{00}\,d^3x, \quad E=\int_{x^0=const} T^{00}\,d^3x,$$ ist rahmenabhängig. Die Änderung der Definition der "Position" des Körpers führt zu einer Verschiebung des Drehimpulses zwischen den Orbitalteilen $x^a p^b-x^b p^a$und der Spin-Teil $S^{ab}$. Unterschiedliche Wahlmöglichkeiten führen zu unterschiedlichen Bedingungen $S^{ab}$. Es wird in Misner, Thorn und Wheeler (MTW) ​​gezeigt, dass, wenn wir uns dafür entscheiden, die "Position" als den Massenmittelpunkt des Körpers in einem Rahmen zu definieren, der sich mit vier Geschwindigkeiten bewegt $v^a$Dann $v_aS^{ab}=0$. Wenn wir die Position als Schwerpunkt im Ruhesystem des Körpers definieren, dann haben wir die Bedingung $p_aS^{ab}=0$; wenn wir dann den Schwerpunkt im Laborrahmen wählen $S^{0b}_{\rm lab}=0$.
Der total antisymmetrische Pauli-Lubanski-Tensor $$W^{abc}\stackrel{\rm def}{=} p^a S^{bc} + p^bS^{ca}+ p^c S^{ab}$$ hat die nützliche Eigenschaft, dass es von einer solchen Umordnung unbeeinflusst bleibt. In vier Raumzeitdimensionen $W^{abc}$wird normalerweise als Pauli-Lubanski-Psudovektor neu verpackt $W^a={\textstyle\frac 16} \epsilon^{abcd}W_{bcd}$aber der 3-Tensor ist allgemeiner, da er in allen Raum-Zeit-Dimensionen die gleichen Eigenschaften hat. Verwenden $W^{abc}$wir finden, dass sich der Schwerpunkt des Laborrahmens dreht $S^{ab}_{\rm lab}$hängt mit dem Schwerpunktspin des Ruhesystems zusammen $S^{ab}$von
$$S^{ab}_{\rm lab} = \left(S^{ab} - \frac{p^a}{E} S^{0b} - S^{a0}\frac{p^b}{E}\right) = \frac 1 E W^{0ab}.$$ Diese letztere Größe ist nur unter Drehungen ein Tensor, da ihre Definition an den Rahmen gebunden ist, in dem $v^a=(1,0, \ldots,0)$.

Lassen Sie uns nun sehen, wie sich diese Ideen auswirken, wenn sie auf
positive Energielösungen angewendet werden$u_\alpha({\bf k})$der Dirac-Gleichung. Wir nutzen die Schnelligkeit$s$im Hinblick darauf

$$E=m\cosh s,\\ {\bf k}=\hat {\bf k }\, m \sinh s,\\ {\bf v}= \hat {\bf k}\,\tanh s,$$ Und $\gamma \equiv (1-|{\bf v}|^2)^{-1/2}=\cosh s$. Der 4-Spinor-Teil der Lösung für ebene Wellen $$\psi_{\alpha, {\bf k}}(x) =u_\alpha({\bf k}) e^{i{\bf k}\cdot {\bf x} - iEt}$$ ist dann $$u_\alpha({\bf k})= \frac{1}{\sqrt{2m(E+m)}}\left[\matrix{(E+m)\chi_\alpha \cr ({\sigma}\cdot {\bf k} )\chi_\alpha}\right] =\left[\matrix{\phantom{({ \sigma}\cdot \hat {\bf k} )} \cosh (s/2)\chi_\alpha \cr \sinh(s/2) ({ \sigma}\cdot \hat {\bf k} )\chi_\alpha}\right].$$ Ich verwende die kovariante Normalisierung $\bar u_\alpha u_\alpha=1$in dem die Teilchendichte im ebenen Wellenstrahl liegt $E/m$. Die Quantität $\chi_\alpha$ist ein 2-Spinor, der den Spinzustand im Ruhesystem des Teilchens bestimmt.

Jetzt bedenke

$$S^{ab}_{\alpha\beta} = \bar u_\alpha(k)\Sigma^{ab} u_\beta(k),$$ bei dem die $$\Sigma^{ab}= \frac i 4 [\gamma^a,\gamma^b]$$ sind die 4-Spinor-Generatoren der Lorentz-Transformationen. Dieser Ausdruck
definiert die $\alpha,\beta$Matrixelemente ein Lorentz-Tensor-wertiger Operator $\hat S^{ab}$für die ebenen Wellenzustände. Im Ruhesystem fällt dieser Tensor mit zusammen $\chi_\alpha^\dagger { \sigma} \chi_\beta$. Außerdem gibt die Dirac-Gleichung die Bedingung an $k_a \hat S^{ab}=0$so ist es natürlich zu betrachten $\hat S^{ab}$als Operator des Eigenspins um den Schwerpunkt im Ruhesystem.

Für die Dirac-Gleichung haben wir Lösungen für ebene Wellen

$$\frac 12 \bar u_\alpha\{\gamma_a, \Sigma_{bc}\} u_\beta = \frac 1m \bar u_\alpha(k_a \Sigma_{bc}+ k_b \Sigma_{ca}+k_c\Sigma_{ab})u_\beta=\frac{1}m (W_{abc})_{\alpha\beta},$$ so dass $$\frac 1 \gamma u^\dagger_\alpha \Sigma_{ij} u_\beta = \bar u_\alpha\left(\Sigma_{ij}- \frac{k_i}{E} \Sigma_{0j}- \Sigma_{i0}\frac {k_j}{E}\right) u_\beta.$$ ist die Spindichte in einem Strahl mit einem Teilchen pro Volumeneinheit und ist der Drehimpuls eines einzelnen Teilchens um den Massenmittelpunkt des Laborrahmens.

Verwenden der expliziten Lösung$u_\alpha({\bf k})$oben angegeben finden wir das

$$\bar u_\alpha \Sigma_{ij} u_\beta= \frac 12 \epsilon_{ijk} \chi^\dagger_\alpha \left(\gamma \sigma_k -\frac{({\bf k}\cdot { \sigma}) k_k}{m^2(1+\gamma)}\right)\chi_\beta, \quad i,j=1,2,3, \\ \bar u_\alpha \Sigma_{0i} u_\beta= \frac1{2m} \chi^\dagger_\alpha (\epsilon_{ijk} k_j \sigma_k)\chi_\beta .$$ Diese beiden Größen divergieren als $\gamma^{-1}$als $m\to 0$bei fest $E$. Dies ist natürlich, da das Ruhesystem auf unendlichen Schwung geschoben wird. In der Zwischenzeit $$\bar u_\alpha\left(\Sigma_{ij}- \frac{k_i}{E} \Sigma_{0j}- \Sigma_{i0}\frac {k_j}{E}\right) u_\beta= \epsilon_{ijk} \frac 1{\gamma}\left\{\frac 12 \left( \sigma_k + \frac{({\bf k}\cdot { \sigma}) k_k}{m^2(1+\gamma)} \right)_{\alpha\beta}\right\}$$ bleibt endlich und strebt nach der $\alpha,\beta$Matrixelemente von $\epsilon_{ijk}S_k,$Wo ${\bf S}= (\hat {\bf k }\cdot { \sigma}) \hat {\bf k}/2$Ist $\hat {\bf k}$mal die Helizität des Teilchens. Es ist diese letztere Menge multipliziert mit $e/E$das ergibt das durch die Larmor-Präzession definierte magnetische Moment des Weyl-Teilchens. Gleichungen, die diesen Moment betreffen, sind nicht konventionell kovariant $\hat S^{ab}_{\rm lab}$ist kein Lorentz-Tensor. Dies ist die Quelle der ungewöhnlichen Art und Weise, wie sich die Lorentz-Invarianz in der statistischen Mechanik masseloser rotierender Teilchen manifestiert (der "Seitensprung").

Das gleiche Problem muss man sich stellen, wenn man das elektrische Dipolmoment eines masselosen Teilchens betrachtet. Bei einem geladenen Teilchen hängt das elektrische Dipolmoment von der gewählten "Position" des Teilchens ab. Diese Position wird sich ändern, wenn wir eine Lorentz-Transformation durchführen.

Hier ist eine Teilantwort, die Ihr klassisches Argument erweitert. Du schreibst,

Wenn unser Universum magnetische Monopole hätte, könnten wir das Eis am Stiel-Argument zusammenfassen und uns davon überzeugen, dass masselose magnetische Dipole kein Dipolmoment in Bewegungsrichtung haben könnten.

Aber wir scheinen in diesem Universum keine magnetischen Monopole zu haben, und die Annahme, dass wir welche haben, erfordert eine Menge sehr sorgfältiges Überdenken von Symmetrie-Argumenten. Da sich beispielsweise elektrische und magnetische Felder bei Umkehrung des Raums unterschiedlich verhalten, denke ich, dass die magnetische Ladung eine pseudoskalare Größe sein müsste. Ich bin sicher, wir könnten den ganzen Tag damit verbringen, über andere problematische Einschränkungen nachzudenken.

Die Möglichkeit, Ihr (sehr cleveres) Argument über klassische Dipole zu erweitern, besteht nicht darin, die Existenz von Ladungen zu postulieren, die wir nicht beobachten, sondern stattdessen das Verhalten eines klassischen magnetischen Dipols unter Verstärkungen zu berücksichtigen: einer Stromschleife. Unter Boosts bleibt jede Komponente des Normalvektors zu einer Stromschleife, die parallel zur Geschwindigkeit ist, unverändert, während jede Komponente dieses Normalvektors senkrecht zur Geschwindigkeit durch die Längenkontraktion einer Seite der Schleife verdünnt wird. Eine masselose Stromschleife kann also ein magnetisches Dipolmoment haben, das parallel zu ihrem Impuls ist, aber nicht senkrecht zu ihrem Impuls.

Beachten Sie, dass Ihr Popsicle-Stick-Dipol kein elektrisches Dipolmoment verbietet, das senkrecht zur Richtung des Boosts steht - die Längenkontraktion tötet nur die Komponente parallel zum Boost.

Der klassische Drehimpuls erfährt aus mehr oder weniger den gleichen Gründen die gleiche Ausrichtung mit der Geschwindigkeitsrichtung unter Boosts wie das magnetische Moment. Meine Freunde aus dem Bereich der experimentellen elektrischen Dipolmomente weisen während dieses Teils ihrer Vorträge darauf hin, dass der Eigendrehimpuls eines Teilchens seine einzige bevorzugte Richtung im Raum ist, und dass jede andere (Pseudo-)Vektoreigenschaft eines Teilchens muss parallel oder antiparallel zum Drehimpuls sein. Wenn sie um eine Erklärung gebeten werden, beziehen sie sich entweder auf das Wigner-Eckhart-Theorem oder geben eine klassische Analogie an, bei der ein elektrisches Dipolmoment senkrecht zur Spinachse im Durchschnitt Null ist.

Ich denke, das sind ein paar Teilantworten. Ihr klassisches Argument ist in Ordnung, solange Sie keine Entitäten mit anderen Symmetrien als der Rest des klassischen Elektromagnetismus erfinden. Auf diese Weise kann es ein rein symmetriebasiertes Argument geben$C,P,T$Transformationen und der Spin-Freiheitsgrad für Felder ergeben sich aus der Lorentz-Gruppe und der Symmetrie unter Boosts, aber ich fühle mich in diesem Bereich viel düsterer.