Gegeben Maxwellsche Gleichungen der Form
In diesem Beitrag beziehe ich mich auf (Amp-Far Dipole) und (Gauss Dipole) als die Dipolgleichungen, weil ich nicht weiß, wie die tatsächlichen Namen lauten oder wer diese Gleichungen zuerst veröffentlicht hat. Ich bin zufällig auf Bleistift und Papier darüber gestolpert.
ist die Zeitvariable multipliziert mit der Lichtgeschwindigkeit für Zwecke der komprimierten Notation.
ist die komplexe Kombination der elektrischen Dipolfelddichte und die magnetische Dipolfelddichte .
wird in den Dipolgleichungen als fiktiver Strom interpretiert (Amp-Far Dipole). Die entsprechende fiktive Ladungsdichte von Ist , was gleich dem Minkowski-Innerprodukt der Viererposition und des Viererstroms ist.
Obwohl Und fiktive Ladung und Strom sind, werden sie als Strom erhalten, wenn . Dies impliziert das bricht Ladungserhaltung der fiktiven Ladung und Strom Und .
Eine interessante Folge der Dipolgleichungen ist, dass sie mit den Maxwellschen Gleichungen identisch sind, wenn .
Ich schreibe zuerst das Amperesche Gesetz, das Faradaysche Gesetz und das Gaußsche Gesetz in komplexer Form
Ich verwende die folgende Differenzialvektorrechnungsidentität
Ich verwende die folgende Differenzialvektorrechnungsidentität
Es ist keine explizite Komplexierung erforderlich, um diese Aufschlüsselung der Maxwell-Gleichungen herzuleiten. Dies kann vollständig durch den realen Vektorraum der speziellen Relativitätstheorie verstanden werden.
Beginnen wir mit Maxwells Gleichungen für das EM-Feld, in der Sprache der Clifford-Algebra namens STA: die Raum-Zeit-Algebra. Die Maxwell-Gleichungen nehmen die Form an
Wo , , im Konvention unterzeichnen.
Lassen sei der Raumzeit-Positionsvektor. Es ist im Allgemeinen wahr, dass für einen Vektor und ein konstanter Bivektor ,
Man kann dann den Ausdruck auswerten
wobei der Überpunkt nur das bedeutet wird im zweiten Term differenziert; Anwendung der Produktregel, wird "konstant gehalten" und somit gelten obige Formeln. Wir haben gerade argumentiert, dass der zweite Term Null ist, also bekommen wir . Damit gelangen wir zu folgender Transformation der Maxwellschen Gleichungen:
Jetzt konnten wir immer schreiben als "komplexer Bivektor" in dem Sinne, dass mit , Und , wir haben
Es ist wichtig, das zu beachten pendelt mit keinem Vektor.
Was sind die Bestandteile von ? Schreiben und wir können sie schreiben als
Auch dies kann in einer "komplexen" Form geschrieben werden:
Wir scheinen uns bei einigen Zeichen zu unterscheiden, aber dies ist erkennbar die gleiche Menge, die Sie aufgerufen haben .
Lassen Sie uns nun schreiben, um darüber zu sprechen, wie diese Gleichungen zusammenbrechen , Wo Und . Schreiben wir auch für .
Die Maxwell-Gleichungen werden dann
Die erste und dritte Gleichung sind die Komponenten des Gauß-Dipols; die zweite Gleichung ist die Ampere-Faraday-Dipolgleichung.
Nun, was hat das alles zu bedeuten? Der Ausdruck für enthält sowohl Rotationsmomente des EM-Felds als auch einige Skalarprodukte, so dass es sowohl misst, wie weit sich die Raumzeitposition in derselben Ebene wie das EM-Feld befindet, als auch wie weit die Raumzeitposition außerhalb der Ebene liegt.
Es ist wahrscheinlich aufschlussreicher, sich den Quellbegriff anzusehen . Dies sagt uns sowohl über die Momente des Viererstroms als auch darüber, wie er auf den Koordinatenursprung zu oder von ihm weggeht. Die Beschreibung für die Momente liegt vollständig in der Ampere-Faraday-Dipolgleichung. Welche Art von Momenten würde dies beschreiben? Ein Paar von zwei entgegengesetzten Punktladungen in Ruhe, getrennt durch einen räumlichen Vektor und auf den Ursprung zentriert, jeweils mit Ruhestrom , würde eine erstellen , also würde dies vollständig durch die AF-Dipolgleichung beschrieben werden.
Das ist jedoch zum Zeitpunkt Null. Zu späteren Zeiten, wird diese seltsamen Zeitbegriffe aufgreifen. Sag, wir sind pünktlich . Dann . Für diesen Fall gibt es also kein Problem: Die zusätzlichen Sachen werden einfach storniert. Eine einzige Ladung würde jedoch beginnen, diesen Begriff aufzuheben.
Mit wenigen Worten, diese Gleichungen sind seltsam .
Ich habe dies durchsucht und es sieht so aus, als könnten Sie Ihre Notation ein wenig verbessern. Sie können ein Produkt auf vier Vektoren definieren, die durch gegeben sind . Sie können auch ein verwandtes Produkt definieren von . Dann können Sie einen Vierervektor definieren von .
Dann werden die Maxwell-Gleichungen , können Sie einen 4-Vektor definieren , Und . Dies sind die vier Vektoranaloga von Ihnen Und . Nachdem Sie alles in Bezug auf diese Produkte formuliert haben, werden Ihre neuen Gleichungen . Ich habe die physikalische Bedeutung nicht erklärt, aber hoffentlich macht das das Problem leichter nachzudenken. Ich hoffe auch, dass ich kein Minuszeichen falsch verstanden habe. Bitte kommentieren oder korrigieren Sie die Antwort, wenn ich es getan habe.
Ich denke, ich kann einen Versuch machen und eine Interpretation geben, aber ich denke nicht, dass es zu aufschlussreich sein wird. Grundsätzlich kann man sich denken als Moment des Feldes, und als Moment der Strömung. Sie haben festgestellt, dass, wenn die Felder und Ströme die Maxwell-Gleichungen erfüllen, die Momente dies auch tun müssen. Dies erinnert mich daran, dass, wenn das Vier-Vektor-Potential die Feldgleichung erfüllt, dies auch die Felder tun müssen, da der Prozess der Differenzierung des Vektorpotentials mit der Anwendung des Feldoperators pendelt. Hier scheinen Sie also zu sagen, dass die Momente auch die Momente erfüllen müssen, wenn die Felder und Ströme die Maxwell-Gleichungen erfüllen, da der Prozess des Erfassens der Momente mit dem Anwenden pendelt .
Kyle Kanos
Kyle Kanos
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