Magnetisches Dipolmoment

Ich versuche seit mehr als einem Tag, dieses Problem anzugehen, und würde mich über Hilfe freuen. Das Problem besteht darin, zu beweisen, dass das magnetische Dipolmoment einer kugelförmigen Kugel Masse ist$m$und aufladen$Q$, deren Ladung nur gleichmäßig auf seiner um seinen Mittelpunkt rotierenden Oberfläche verteilt ist, gleich ist

$$\vec{\mu} = \frac{5Q}{6m} \vec{L}.$$ Meine Überlegung ist folgende: Wir kennen die Formel für das Dipolmoment in Bezug auf die Oberflächenladungsdichte $K$, welches ist $$\vec{\mu} = \frac{1}{2} \oint \vec{r} \, ' \times \vec{K} \, dA.$$ Ok, als nächstes müssen wir diese Mengen herausfinden. Nun, per Definition $\vec{K} \equiv \sigma \vec{v}$, Wo $\sigma$ist die Oberflächenladungsdichte. Damit können wir es schreiben als $$\begin{align} \vec{K} &= \sigma \vec{v} \\ &= \sigma \vec{\omega} \times \vec{r} \\ &= \sigma \omega R \sin \theta \hat{\phi}. \end{align}$$ Als nächstes wissen wir das $\vec{r} \, ' = R\hat{r},$denn was wir integrieren, liegt nur an der Oberfläche. Jetzt nehmen wir nur noch das Kreuzprodukt: $$\begin{align} \vec{\mu} &= \frac{1}{2} \oint R\hat{r} \times \sigma \omega R \sin \theta \hat{\phi} \, dA \\ &= \frac{\sigma \omega R^2}{2} \oint \sin \theta (-\hat{\theta}) \, dA.\\ \end{align}$$ Wir wissen, dass das Dipolmoment im sein wird $z$Richtung, weil das die Richtung des Drehimpulses ist, also können wir umschreiben $\hat{\theta}$in unserer Gleichung oben, wobei wir nur die nehmen $z$Komponente. $\hat{\theta} = \cos \theta \cos \phi \hat{i} + \cos \theta \sin \phi \hat{j} - \sin \theta \hat{k}$und so bekommen wir $$\vec{\mu} = \frac{\sigma \omega R^2}{2} \oint \sin^2 \theta \hat{k} \, dA$$ Wir wissen das $dA = R^2 \sin \theta \, d\theta \, d\phi$, und unsere Grenzen der Integration sind von $0$Zu $2 \pi$für $\pi$und von $0$Zu $\phi$für $\theta$, also lautet unser Endergebnis: $$\begin{align} \vec{\mu} &= \frac{\sigma \omega R^2}{2} \int_{\phi = 0}^{2 \pi} \int_{\theta = 0}^{\pi} \sin^2 \theta \hat{k} (R^2 \sin \theta \, d\theta \, d\phi) \\ &= \frac{\sigma \omega R^4}{2} \int_{\phi = 0}^{2\pi} \int_{\theta = 0}^{\pi} \sin^3 \theta \hat{k} \, d\theta \, d\phi \\ &= \frac{\sigma \omega R^4}{2} \frac{4}{3} 2 \pi \hat{k} \\ &= \frac{4}{3} \sigma \omega \pi R^4 \hat{k}. \end{align}$$ Zu guter Letzt müssen wir dies in die richtige Form bringen, wie es das Problem erfordert. Wir wissen das $\sigma = \frac{Q}{4\pi R^2}$Und $\vec{L} = I_{sphere} \vec{\omega} = \frac{2}{3} mR^2 \omega \hat{k},$da die Winkelgeschwindigkeit in die gerichtet ist $z$Richtung. Zum Abschluss setzen wir diese Werte ein und erhalten: $$\begin{align} \vec{\mu} &= \frac{4}{3} \frac{Q}{4\pi R^2} \omega R^4 \pi \hat{k} \\ &= \frac{Q\omega R^2}{3} \hat{k} \\ &= \frac{Q}{3} \frac{3\vec{L}}{2m} \\ &= \boxed{\frac{Q}{2m} \vec{L}} \end{align}$$ oops ... Noch einmal, das ist nicht die richtige Antwort und ich kann keine Fehler finden, also wäre Hilfe sehr dankbar! Vielen Dank im Voraus wie gewohnt.