Einschränkung der Quantenzahlen des Bahndrehimpulses

Question

Einschränkung der Quantenzahlen des Bahndrehimpulses

Octavius

Mein Ziel ist es, die Einschränkung für die Bahnimpulsquantenzahl zu beweisen $-\ell \leq m \leq \ell$ . Mein Professor gab mir den Hinweis, dass ich mich an die Norm des Staates halten solle $|| L_+ |\ell,m\rangle ||$ mit dem Zustandsvektor $|\ell, m\rangle$ .

Also fange ich mit der Norm an

| | L_{+} | ℓ, M ⟩ | |^{2} = ⟨ ℓ, M | L_{-} L_{+} | ℓ, M ⟩ \geq 0.

$|| L_+ |\ell,m\rangle ||^2 = \langle\ell,m| L_-L_+ |\ell,m\rangle \geq 0.$

Zunächst berechne ich das Operatorprodukt:

L_{-} L_{+} = (L_{X} - ich L_{j}) (L_{X} + ich L_{j}) = L_{X}^{2} + L_{j}^{2} + ich [L_{X}, L_{j}] = {\vec{L}}^{2} - L_{z}^{2} - ℏ L_{z} .

$L_-L_+ = (L_x - iL_y)(L_x + i L_y) = L_x^2 + L_y^2 + i[L_x, L_y] = \vec{L}^2 - L_z^2 - \hbar L_z.$

Unter Verwendung der Eigenwerte des Operators erhalte ich

| | L_{+} | ℓ, M ⟩ | |^{2} = \underset{= 1}{\underset{⏟}{⟨ ℓ, M | ℓ, M ⟩}} ℏ^{2} (ℓ (ℓ + 1) - M (M + 1)) \geq 0.

$|| L_+ |\ell,m\rangle || ^2 = \underbrace{\langle\ell, m|\ell,m\rangle}_{=1} \, \hbar^2 \big( \ell(\ell+1) - m(m+1) \big) \geq 0.$

Endlich habe ich

ℓ (ℓ + 1) \geq M (M + 1) .

$\ell(\ell + 1) \geq m(m+1).$

Berechnen Sie jetzt die Norm $|| L_- |\ell, m\rangle ||$ führt mich zu einer ähnlichen Ungleichung:

ℓ (ℓ + 1) \geq M (M - 1) .

$\ell(\ell + 1) \geq m(m-1).$

Meine Frage ist nun, wie kommt man aus diesen beiden Ungleichungen zur Einschränkung $-\ell \leq m \leq \ell$ ?

G. Smith

Es gibt eine Standardnotation für Kets und BHs. Warum nicht verwenden?

Octavius

Ich habe \bra{.} und \ket{.} ausprobiert, sie schienen nicht zu funktionieren, ich kenne keinen anderen Befehl.

G. Smith

Sie können \langle, \mid und \rangle verwenden.

Biophysiker

Verwenden von | for \mid funktioniert auch. Sie können auch \right > oder \left < tun. Also einige Optionen für Ket of

ψ

$\psi$ . \mid\psi\ranglegibt

∣ ψ ⟩

$\mid\psi\rangle$ , \left|\psi\right>gibt auch

| ψ ⟩

$\left|\psi\right>$ . Normalerweise mache ich nur |\psi\rangle:

| ψ ⟩

$|\psi\rangle$

Antworten (1)

Einschränkung der Quantenzahlen des Bahndrehimpulses

Es gibt eine Standardnotation für Kets und BHs. Warum nicht verwenden?
Ich habe \bra{.} und \ket{.} ausprobiert, sie schienen nicht zu funktionieren, ich kenne keinen anderen Befehl.
Verwenden von | for \mid funktioniert auch. Sie können auch \right > oder \left < tun. Also einige Optionen für Ket of $\psi$ . \mid\psi\ranglegibt $\mid\psi\rangle$ , \left|\psi\right>gibt auch $\left|\psi\right>$ . Normalerweise mache ich nur |\psi\rangle: $|\psi\rangle$

AccidentalTaylorExpansion · Answer 1

Ihre Ungleichheit kann gelesen werden als

F (ℓ) \geq F (M)

$f(\ell)\geq f(m)$ Wo

f (x) = x (x + 1)

$f(x)=x(x+1)$ . Dies lässt sich reduzieren auf

ℓ \geq m

$\ell\geq m$ durch Auftragen

f^{- 1}

$f^{-1}$ zu beiden Seiten. Aber es gibt eine Einschränkung. Unsere Funktion

f

$f$ ist keine Injektion, da mehrere x-Werte derselben Zahl zugeordnet werden können. Das bedeutet, dass wir die Umkehrung nicht einfach definieren können und mehr Arbeit leisten müssen.

Unsere Funktion ist eine Parabel mit einem Minimum bei $x=-1/2$ . Wir können diese Umkehrung etwas einfacher machen, indem wir zu diesem Minimum von using wechseln $\tilde \ell=\ell+1/2,\ \tilde m=m+1/2$ .

\begin{aligned} ℓ (ℓ + 1) & \geq M (M + 1) \\ (\tilde{ℓ} - 1 / 2) (\tilde{ℓ} + 1 / 2) & \geq (M - 1 / 2) (M + 1 / 2) \\ {\tilde{ℓ}}^{2} - 1 / 4 & \geq {\tilde{M}}^{2} - 1 / 4 \\ {\tilde{ℓ}}^{2} & \geq {\tilde{M}}^{2} \\ | \tilde{ℓ} | & \geq | \tilde{M} | \end{aligned}

$\begin{align} \ell(\ell+1)&\ge m(m+1)\\ (\tilde \ell-1/2)(\tilde\ell+1/2)&\ge(m-1/2)(m+1/2)\\ \tilde\ell^2-1/4&\geq \tilde m^2-1/4\\ \tilde \ell^2&\geq \tilde m^2\\ |\tilde \ell|&\ge|\tilde m| \end{align}$ Diese letzte Zeile bedeutet

- \tilde{ℓ} \leq \tilde{m} \leq \tilde{l} ⟹ - ℓ \leq m \leq ℓ

$-\tilde \ell\le\tilde m\leq\tilde l\implies-\ell\le m\le \ell$ wo ich vermutet habe

ℓ

$\ell$ positiv sein.

Übersichtlich und vollständig. Ich danke Ihnen sehr für Ihre Antwort.

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Octavius

G. Smith

Octavius

G. Smith

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AccidentalTaylorExpansion

Octavius

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