Verwandlung in einen rotierenden Rahmen in der xxx-Basis

Question

Verwandlung in einen rotierenden Rahmen in der xxx-Basis

Rajath Radhakrishnan

Ich habe dieses Papier über analytisch lösbare zeitabhängige Quantensysteme mit zwei Ebenen gelesen . Der in der Arbeit betrachtete Hamiltonoperator ist der folgende:

H = σ_{z} \cdot J (T) / 2) + σ_{X} \cdot H / 2

$H=\sigma_z\cdot J(t)/2)+\sigma_x\cdot h/2$

$U$ ist der unitäre Evolutionsoperator mit Elementen $u_{ij}$ (Gleichung (2) in der Arbeit). Es ist gegeben, dass nach Transformation in eine in der x-Basis rotierende folgende Gleichung erhalten wird (Gleichung (3) in der Arbeit):

D_{+} = e^{+ ich \cdot H \cdot T / 2} (u_{11} + u_{21}) \cdot 1 / \sqrt{(} 2)

$D_+=e^{+i\cdot h\cdot t/2}(u_{11}+u_{21})\cdot 1/\sqrt(2)$ Und

D_{-} = e^{- ich \cdot H \cdot T / 2} (u_{11} - u_{21}) \cdot 1 / \sqrt{(} 2)

$D_-=e^{-i\cdot h\cdot t/2}(u_{11}-u_{21})\cdot 1/\sqrt(2)$

Was ist das $D_+$ Und $D_-$ ? Ich weiß, dass die allgemeine Form des Rotationsoperators (der auch oft mit bezeichnet wird $D$ ) für das Spinsystem ist gegeben durch:

D (\hat{N}, θ) = e^{- ich θ \hat{N} \cdot \vec{S}}

$D(\hat n,\theta)=\mathrm e^{-i\theta\ \hat{n}\cdot\vec S}$ und als ich es für die Rotation um die x-Achse berechnete, erhielt ich den Rotationsoperator:

D (\hat{N}, θ) = [\begin{array}{cc} \cos (θ / 2) & - ich Sünde (θ / 2) \\ - ich Sünde (θ / 2) & \cos (θ / 2) \end{array}]

$D(\hat n,\theta)=\left[ {\begin{array}{cc} \cos(\theta/2) & -i\sin(\theta/2) \\ -i\sin(\theta/2) & \cos(\theta/2) \ \end{array} } \right]$

Was sind die $D$ s beim Umwandeln in einen rotierenden Rahmen im angehängten Bild erhalten? Mache ich hier etwas falsch?

Die Terminologie ist für mich auch ziemlich verwirrend. Warum wird es als "rotierender" Rahmen bezeichnet und nicht als Rahmen, um den gedreht wird? $\theta$ ? Aber das macht dann auch keinen Sinn, weil es im Originalpapier keine gibt $\theta$ ? Was meinen sie also mit "rotieren"?

Rajath Radhakrishnan

Update: Der folgende Link gibt einen wirklich guten Überblick über die Methode zum Drehen von Frames. journals.aps.org/rmp/abstract/10.1103/RevModPhys.26.167

Antworten (1)

Verwandlung in einen rotierenden Rahmen in der xxx-Basis

Update: Der folgende Link gibt einen wirklich guten Überblick über die Methode zum Drehen von Frames. journals.aps.org/rmp/abstract/10.1103/RevModPhys.26.167

udrv · Answer 1

Wenn $|\pm\rangle$ sind die Eigenvektoren von ${\hat \sigma}_x$ , ${\hat \sigma}_x |\pm\rangle = \pm |\pm\rangle$ , dann eine Drehung $x$ -Basis ist definiert als

| + ⟩ (T) = \exp (- ich \frac{ω T}{2} {\hat{σ}}_{X}) | + ⟩ = e^{- ich ω T / 2} | + ⟩

$|+\rangle(t) = \exp\left(-i\frac{\omega t}{2} {\hat \sigma}_x\right)|+\rangle = e^{-i\omega t/2 } |+\rangle$

| - ⟩ (T) = \exp (- ich \frac{ω T}{2} {\hat{σ}}_{X}) | - ⟩ = e^{ich ω T / 2} | - ⟩

$|-\rangle(t) = \exp\left(-i\frac{\omega t}{2} {\hat \sigma}_x\right)|-\rangle = e^{i\omega t/2 }|-\rangle$ Beachten Sie, dass es immer noch eine Eigenbasis von ist

{\hat{σ}}_{x}

${\hat \sigma}_x$ ,

{\hat{σ}}_{x} | \pm ⟩ (t) = \pm | \pm ⟩ (t)

${\hat \sigma}_x |\pm\rangle(t) = \pm |\pm\rangle(t)$ . Überprüfen Sie, warum es als Rotationsbasis bezeichnet wird, indem Sie sich die Transformation zwischen ansehen

| \pm ⟩ (t)

$|\pm\rangle(t)$ Und

| ↑ ⟩

$|\uparrow\rangle$ ,

| ↓ ⟩

$|\downarrow\rangle$ .

Im vorliegenden Fall nehmen $\omega = h$ und lass $d_\pm(t)$ seien die Entwicklungskoeffizienten des Zustandsvektors in der rotierenden Basis, d. h.

| ψ (T) ⟩ = D_{+} (T) | + ⟩ (T) + D_{-} (T) | - ⟩ (T)

$|\psi(t)\rangle = d_+(t) |+\rangle(t) + d_-(t)|-\rangle(t)$ Seit

{\hat{σ}}_{z} | \pm ⟩ (t) = e^{\mp i h t / 2} | \mp ⟩

${\hat \sigma}_z |\pm\rangle(t) = e^{\mp i ht/2} |\mp \rangle$ , ergibt die Schrödinger-Gleichung

ich \frac{D | ψ ⟩}{D T} = ich {\dot{D}}_{+} | + ⟩ (T) + ich D_{+} (T) \frac{D}{D T} | + ⟩ (T) + ich {\dot{D}}_{-} (T) | - ⟩ (T) + ich D_{-} (T) \frac{D}{D T} | - ⟩ (T) =

$i \frac{d|\psi\rangle}{dt} = i {\dot d}_+ |+\rangle(t) + i d_+(t) \frac{d}{dt} |+\rangle(t) + i {\dot d}_-(t) |-\rangle(t) + i d_-(t) \frac{d}{dt} |-\rangle(t) =$

= ich {\dot{D}}_{+} | + ⟩ (T) + \frac{H}{2} D_{+} (T) | + ⟩ (T) + ich {\dot{D}}_{-} (T) | - ⟩ (T) - \frac{H}{2} D_{-} (T) | - ⟩ (T) =

$= i {\dot d}_+ |+\rangle(t) + \frac{h}{2} d_+(t) |+\rangle(t) + i {\dot d}_-(t) |-\rangle(t) - \frac{h}{2} d_-(t) |-\rangle(t) =$

[\frac{J (T)}{2} D_{-} (T) e^{ich H T} + \frac{H}{2} D_{+} (T)] | + ⟩ (T) + [\frac{J (T)}{2} D_{+} (T) e^{- ich H T} - \frac{H}{2} D_{-} (T)] | - ⟩ (T)

$\left[ \frac{J(t)}{2} d_-(t)e^{iht} + \frac{h}{2}d_+(t)\right] |+\rangle(t) + \left[ \frac{J(t)}{2} d_+(t)e^{-iht} - \frac{h}{2}d_-(t)\right] |-\rangle(t)$ woraus nach Vereinfachung und Identifizierung folgt

{\dot{D}}_{\pm} (T) = - ich \frac{J (T)}{2} e^{\pm ich H T} D_{\mp} (T)

${\dot d}_\pm(t) = - i \frac{J(t)}{2}e^{\pm iht} d_\mp(t)$ Dies sieht sehr ähnlich aus wie Gleichung (4) in der Arbeit, aber Koeffizienten

d_{\pm} (t)

$d_\pm(t)$ stehen noch nicht in Beziehung zu den Matrixelementen

u_{11}

$u_{11}$ Und

u_{21}

$u_{21}$ des Evolutionsoperators

\hat{U}

${\hat U}$ , wie von Gleichung (3) gefordert. Letzteres und damit die Bedeutung der Funktionen zu erhalten

D_{\pm} (t)

$D_\pm(t)$ , schauen wir uns den alternativen Ausdruck für an

| ψ (t) ⟩

$|\psi(t)\rangle$ durch Bewerbung erhalten

\hat{U} (t)

${\hat U}(t)$ zum Anfangszustandsvektor in der z-Basis,

| ψ (0) ⟩ = c_{1} (0) | ↑ ⟩ + c_{2} (0) | ↓ ⟩

$|\psi(0) \rangle = c_1(0)|\uparrow\rangle + c_2(0)|\downarrow\rangle$ :

| ψ (T) ⟩ = \hat{U} (T) | ψ (0) ⟩ = C_{1} (0) \hat{U} (T) | ↑ ⟩ + C_{2} (0) \hat{U} (T) | ↓ ⟩ =

$|\psi(t)\rangle = {\hat U}(t)|\psi(0) \rangle = c_1(0) {\hat U}(t)|\uparrow\rangle + c_2(0) {\hat U}(t)|\downarrow\rangle =$

= [u_{11} (T) C_{1} (0) - u_{21}^{*} (T) C_{2} (0)] | ↑ ⟩ + [u_{21} (T) C_{1} (0) + u_{11}^{*} (T) C_{2} (0)] | ↓ ⟩

$= \left[ u_{11}(t)c_1(0) - u^*_{21}(t) c_2(0)\right] |\uparrow\rangle + \left[ u_{21}(t) c_1(0) + u^*_{11}(t)c_2(0)\right]|\downarrow\rangle$ Wenn wir jetzt auf die x-Basis und dann auf die rotierende x-Basis umschalten, lautet dies

| ψ (T) ⟩ = [u_{11} (T) C_{1} (0) - u_{21}^{*} (T) C_{2} (0)] \frac{1}{\sqrt{2}} (| + ⟩ + | - ⟩) + [u_{21} (T) C_{1} (0) + u_{11}^{*} (T) C_{2} (0)] \frac{1}{\sqrt{2}} (| + ⟩ - | - ⟩) =

$|\psi(t)\rangle = \left[ u_{11}(t)c_1(0) - u^*_{21}(t) c_2(0)\right] \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|+\rangle + |-\rangle\right) + \left[ u_{21}(t) c_1(0) + u^*_{11}(t)c_2(0)\right]\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|+\rangle - |-\rangle\right) =$

= [[\frac{1}{\sqrt{2}} (u_{11} + u_{21}) e^{ich H T / 2}] C_{1} (0) + {[\frac{1}{\sqrt{2}} (u_{11} - u_{21}) e^{- ich H T / 2}]}^{*} C_{2} (0)] | + ⟩ (T) +

$= \left[ \left[\frac{1}{\sqrt{2}} \left(u_{11} + u_{21} \right) e^{iht/2}\right] c_1(0) + \left[ \frac{1}{\sqrt{2}} \left(u_{11} - u_{21} \right) e^{-iht/2}\right]^* c_2(0)\right] |+\rangle(t) +$

+ [[\frac{1}{\sqrt{2}} (u_{11} - u_{21}) e^{- ich H T / 2}] C_{1} (0) - {[\frac{1}{\sqrt{2}} (u_{11} + u_{21}) e^{ich H T / 2}]}^{*} C_{2} (0)] | - ⟩ (T) =

$+ \left[ \left[\frac{1}{\sqrt{2}} \left(u_{11} - u_{21} \right) e^{-iht/2}\right] c_1(0) - \left[ \frac{1}{\sqrt{2}} \left(u_{11} + u_{21} \right) e^{iht/2}\right]^* c_2(0)\right] |-\rangle(t) =$

= [D_{+} (T) C_{1} (0) + D_{-}^{*} (T) C_{2} (0)] | + ⟩ (T) + [D_{-} (T) C_{1} (0) - D_{+}^{*} (T) C_{2} (0)] | - ⟩ (T)

$= \left[ D_+(t) c_1(0) + D^*_-(t) c_2(0)\right] |+\rangle(t) + \left[ D_-(t) c_1(0) - D^*_+(t) c_2(0)\right] |-\rangle(t)$ Mit anderen Worten, die Funktionen

D_{\pm} (t)

$D_\pm(t)$ einfach eine bequeme Reparametrisierung der Evolution in der rotierenden x-Basis bereitstellen.

Ich belasse es als Übung, Gl. (4) aus der Identifikation abzuleiten

D_{\pm} (T) = D_{\pm} (T) C_{1} (0) \pm D_{\mp}^{*} (T) C_{2} (0)

$d_\pm(t) = D_\pm(t) c_1(0) \pm D^*_\mp(t) c_2(0)$

(Hinweis: Koeffizienten $c_1(0)$ , $c_2(0)$ sind willkürlich).

Vielen Dank für diese ausführliche Antwort zu dieser Methode. Ich habe diesen Prozess der Umwandlung in einen rotierenden Rahmen in keinem der Standard-QM-Lehrbücher oder anderer Literatur gefunden. Obwohl Ihre Antwort alles erklärt, bin ich neugierig zu wissen, wo Sie auf diese Methode gestoßen sind.
Willkommen. Die Rotationsrahmen-Approximation taucht häufig in Zwei-Niveau-Modellen auf, in vielen Versionen, in Analogie zur Spin-1/2-Larmor-Präzession in Magnetfeldern. Es wird häufig in der NMR verwendet und im Allgemeinen bei allen elektromagnetisch angetriebenen Spins, Atomen mit zwei Ebenen usw. Sie können wahrscheinlich etwas darüber in Büchern über Quantenoptik finden, aber für eine schnelle Vorstellung werfen Sie einen Blick auf die ergänzenden Anmerkungen von lanl.arxiv .org/pdf/1508.06436v1 , müssen Sie ganz an den Ziffern vorbei scrollen, bis Gl. (S1).
Übrigens, hier ist ein weiterer interessanter Ansatz für allgemeine Lösungen für die Art von zweistufigem Problem, das Sie in Betracht ziehen: arxiv.org/pdf/quant-ph/0205170v1.pdf
Bei dieser Transformation haben wir lediglich einen zeitabhängigen Phasenfaktor hinzugefügt. Somit bleiben die Wahrscheinlichkeiten unverändert. Was ist die physikalische Bedeutung dieser Transformation in einen rotierenden Rahmen, anstatt eine gute mathematische Transformation zu sein?
Beachten Sie, dass die zeitabhängigen Phasenfaktoren für die beiden Eigenvektoren unterschiedlich sind $\sigma_x$ . Die Verwandlung ist $\exp[-i(\omega t/2){\hat \sigma}_x]$ , was einer Winkeldrehung gleichkommt $\omega t$ um die $x$ -Achse. Daher spricht man von einer "Rotating Frame"-Transformation.
Aber es ist immer noch eine mathematische Art, Dinge richtig zu sagen? Ich meine, wie erreicht man diese Art von Rotation in einem realen Experiment?
Meistens ja. Sofern das Zwei-Ebenen-Modell nicht einem physikalischen Spin-1/2-Teilchen entspricht, ist dies eine formale Drehung, die eine kanonische Transformation des Problems in eine mathematisch bequemere Form implementiert. Wenn das System zum Beispiel ein zweistufiges Atom ist ${\hat \sigma}$ Operatoren werden in Form von Projektoren und Übergangsoperatoren für die zwei Energieniveaus definiert, die das System definieren. In diesem Fall ist die "Rotation" streng formal, eine zeitabhängige kanonische Transformation ohne Äquivalent zu einer physikalischen Rotation. Der Begriff "rotierender Rahmen" wird nur analog übertragen.
Wenn jedoch das zweistufige System ein tatsächlicher Spin-1/2 ist, wird die ${\hat \sigma}$ -s sind physikalische Spinobservable, die physikalischen Richtungen zugeordnet sind. In diesem Fall können Sie sich vorstellen, dass der "rotierende Rahmen" eine Rotation mit Geschwindigkeit durchläuft $\omega$ um die $x$ -Achse im physikalischen Raum, die mit einem rotierenden Spin Schritt hält (Larmor-Präzession). Ein typisches Beispiel, das Ihrem Problem leicht zugeordnet werden könnte, ist ein Spin-1/2 in einem zeitabhängigen Magnetfeld, wie in NMR usw.
Ohh...jetzt ist mir alles klar. Vielen Dank, dass Sie sich die Zeit genommen haben, meine Fragen zu beantworten.

Verwandlung in einen rotierenden Rahmen in der xxx-Basis

Rajath Radhakrishnan

Rajath Radhakrishnan

Antworten (1)

udrv

Rajath Radhakrishnan

udrv

udrv

Rajath Radhakrishnan

udrv

Rajath Radhakrishnan

udrv

udrv

Rajath Radhakrishnan

udrv

Erwartungswerte von LxLxL_x- und LyLyL_y-Operatoren in LzLzL_z-Eigenzuständen

Problem über Drehimpuls in der Quantenmechanik

Einschränkung der Quantenzahlen des Bahndrehimpulses

Erwartungswert des Ortsoperators für Drehimpulszustände

Erwartungswert des Gesamtdrehimpulses ⟨J⟩⟨J⟩\langle J \rangle

Hermitesche Konjugation des Differentialoperators

Ist ⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩\langle\psi|\hat{A}|\psi\rangle = \langle\psi|\hat{B}|\psi\rangle für alle |ψ⟩|ψ⟩|\psi\rangle implizieren, dass A^=B^A^=B^\hat{A} = \hat{ B}?

Wie kommt r¯×(∇¯×)−∇¯×(r¯×)r¯×(∇¯×)−∇¯×(r¯×)\bar{r}\times(\bar{\nabla} \times) - \bar{\nabla}\times(\bar{r}\times) beziehen sich auf den Bahndrehimpulsoperator?

Können wir das ohne explizite Rechnung beweisen?

Probleme beim Verständnis der Nielsen & Chuang-Übung