Erwartungswert des Gesamtdrehimpulses ⟨J⟩⟨J⟩\langle J \rangle

Question

Erwartungswert des Gesamtdrehimpulses ⟨J⟩⟨J⟩\langle J \rangle

Zephyrus

[Ich arbeite mit Griffiths Introduction to Quantum Mechanics, 3rd Edition. Mein Problem ist allgemein, aber wenn Sie nachsehen möchten, lese ich aus Kapitel 4.1, in dem der Schwachfeld-Zeeman-Effekt berechnet wird, als ich feststeckte.]

Wir wollen rechnen $E _{z} = e/2m * \vec B_{ext} \cdot < \vec J + \vec S>$

Wir arbeiten es so aus, dass alles, was wir finden müssen, ist $<\vec J>$ .

ich weiß, dass $\vec J = \vec L +\vec S$ , und somit $|\vec J|^2= |\vec L|^2+|\vec S|^2+\vec L \cdot \vec S$ Wo $|\vec L|^2 = \hbar l(l+1)$ Und $|\vec s|^2 = \hbar s(s+1)$ in den Eigenzuständen des Wasserstoffatoms, aber Griffiths scheint keine dieser Tatsachen zu verwenden und (nachdem er festgestellt hat, dass die $z$ -Achse wird dh entlang $\vec B _{ext}$ Zustände

$\vec B \cdot<\vec J> = \hbar m _{j}$

Vielleicht bin ich nur verwirrt darüber, was J ist, aber wie kommen wir von einem zum anderen?

Zephyrus

Ah warte, es liegt daran, dass das System bereits in einem Zustand war, der ein Eigenwert des Gesamtdrehimpulses war (weil beim Arbeiten an der Feinaufspaltung die Entartung von S und L gebrochen wird, während J immer noch mit dem Hamiltonian pendelt). Bitte korrigiert mich, wenn ich hier falsch liege!

Kyle Kanos

Wie geht was von einem zum anderen? Von der ersten bis zur letzten Zeile? Etwas dazwischen?

Antworten (1)

Erwartungswert des Gesamtdrehimpulses ⟨J⟩⟨J⟩\langle J \rangle

Ah warte, es liegt daran, dass das System bereits in einem Zustand war, der ein Eigenwert des Gesamtdrehimpulses war (weil beim Arbeiten an der Feinaufspaltung die Entartung von S und L gebrochen wird, während J immer noch mit dem Hamiltonian pendelt). Bitte korrigiert mich, wenn ich hier falsch liege!
Wie geht was von einem zum anderen? Von der ersten bis zur letzten Zeile? Etwas dazwischen?

user82572 · Answer 1

Ich bin mir nicht ganz sicher, was Ihre spezifische Frage ist, also werde ich versuchen, besser zu erklären, was Griffiths in seinem Buch tut.

In der Störungstheorie erster Ordnung lautet die Zeeman-Korrektur der Energie:

\begin{aligned} E_{Z}^{1} & = ⟨ N l J M_{J} | H_{Z}^{'} | N l J M_{J} ⟩ \\ = ⟨ N l J M_{J} | \frac{e}{2 M} (L + 2 S) \cdot B_{ext} | N l J M_{J} ⟩ \\ = \frac{e}{2 M} B_{ext} \cdot ⟨ N l J M_{J} | (L + 2 S) | N l J M_{J} ⟩ \\ = \frac{e}{2 M} B_{ext} \cdot ⟨ L + 2 S ⟩ \end{aligned}

$\begin{align*} E_{Z}^{1} & = \langle n \; l \; j \; m_{j} \vert H_{Z}^{\prime} \vert n \; l \; j \; m_{j} \rangle \\ & = \langle n \; l \; j \; m_{j} \vert \frac{e}{2m}\left( L + 2S \right) \cdot B_{\text{ext}} \vert n \; l \; j \; m_{j} \rangle \\ & = \frac{e}{2m}B_{\text{ext}} \cdot \langle n \; l \; j \; m_{j} \vert \left(L + 2S \right) \vert n \; l \; j \; m_{j} \rangle \\ & = \frac{e}{2m}B_{\text{ext}} \cdot \langle L + 2S \rangle \end{align*}$

Aber seit $J = L + S$ , Dann $L + 2S$ kann geschrieben werden als $L = J + S$ . Da der Gesamtdrehimpuls $J$ , ist konstant und $L$ Und $S$ herum präzisieren $J$ , können wir den zeitlichen Durchschnittswert von berechnen $S$ durch Berechnung seiner Projektion auf $J$ :

S_{Ave} = \frac{(S \cdot J)}{J^{2}} J

$S_{\text{ave}} = \frac{\left( S \cdot J \right)}{J^{2}}J$

Also müssen wir jetzt herausfinden, was $S \cdot J$ ist, was nicht sofort ersichtlich ist. Aber bedenke folgendes:

\begin{aligned} L^{2} & = (J - S) (J - S) = J \cdot J - 2 J \cdot S + S \cdot S \\ = J^{2} + S^{2} - 2 J \cdot S \end{aligned}

$\begin{align*} L^{2} & = \left( J - S \right) \left( J - S \right) = J \cdot J - 2J \cdot S + S \cdot S \\ & = J^{2} + S^{2} - 2J \cdot S \end{align*}$

Wenn wir das also umstellen, erhalten wir einen Ausdruck für $S \cdot J$ :

S \cdot J = \frac{1}{2} (J^{2} + S^{2} - L^{2})

$S \cdot J = \frac{1}{2}\left(J^{2} + S^{2} - L^{2} \right)$

Aber das wissen wir $J^{2} = j\left(j + 1\right)h^{2}$ , und ähnlich mit $S^{2}$ Und $L^{2}$ ; unser Ausdruck wird also:

\begin{aligned} S \cdot J & = \frac{1}{2} [J (J + 1) ℏ^{2} + S (S + 1) ℏ^{2} - l (l + 1) ℏ^{2}] \\ = \frac{ℏ^{2}}{2} [J (J + 1) + S (S + 1) - l (l + 1)] \end{aligned}

$\begin{align*} S \cdot J & = \frac{1}{2}\left[j\left(j + 1\right)\hbar^{2} + s\left(s + 1\right)\hbar^{2} - l\left(l + 1\right)\hbar^{2} \right] \\ & = \frac{\hbar^{2}}{2}\left[j\left(j + 1\right) + s\left(s + 1\right) - l\left(l + 1\right) \right] \end{align*}$

Und so folgt daraus:

\begin{aligned} ⟨ L + 2 S ⟩ & = ⟨ J + S ⟩ \\ = ⟨ (1 + \frac{S \cdot J}{J^{2}}) J ⟩ \\ = [1 + \frac{\frac{ℏ^{2}}{2} [J (J + 1) + S (S + 1) - l (l + 1)]}{J (J + 1) ℏ^{2}}] ⟨ J ⟩ \\ = [1 + \frac{[J (J + 1) + S (S + 1) - l (l + 1)]}{2 J (J + 1)}] ⟨ J ⟩ \\ = G_{J} ⟨ J ⟩ \end{aligned}

$\begin{align*} \langle L + 2S \rangle & = \langle J + S \rangle \\ & = \langle \left( 1 + \frac{S \cdot J}{J^{2}} \right)J \rangle \\ & = \left[ 1 + \frac{\frac{\hbar^{2}}{2}\left[j\left(j + 1 \right) + s\left(s + 1\right) - l\left(l + 1\right) \right]}{j\left(j + 1\right)\hbar^{2}}\right]\langle J \rangle \\ & = \left[ 1 + \frac{\left[j\left(j + 1 \right) + s\left(s + 1\right) - l\left(l + 1\right) \right]}{2j\left(j + 1\right)}\right]\langle J \rangle \\ & = g_{J}\langle J \rangle \end{align*}$

Wo $g_{J}$ ist der Landé g-Faktor.

Erinnern Sie sich an unseren Ausdruck für die Energiekorrektur erster Ordnung:

E_{Z}^{1} = \frac{e}{2 M} B_{ext} \cdot ⟨ L + 2 S ⟩

$E_{Z}^{1} = \frac{e}{2m}B_{\text{ext}}\cdot \langle L + 2S \rangle$

Das haben wir gerade gezeigt $\langle L + 2S \rangle = g_{J} \langle J \rangle$ , also haben wir:

E_{Z}^{1} = \frac{e}{2 M} B_{ext} \cdot G_{J} ⟨ J ⟩

$E_{Z}^{1} = \frac{e}{2m}B_{\text{ext}} \cdot g_{J} \langle J \rangle$

An diesem Punkt können wir die z-Achse so wählen, dass sie entlang der Richtung von liegt $B_{\text{ext}}$ . In diesem Fall, $B_{\text{ext}} \cdot \langle J \rangle = B_{\text{ext}} \langle J_{z} \rangle$ . Natürlich der Erwartungswert $\langle J_{z} \rangle = \hbar m_{j}$ , und so haben wir:

\begin{aligned} E_{Z}^{1} & = \frac{ℏ e}{2 M} B_{ext} G_{J} M_{J} \\ = μ_{B} B_{ext} G_{J} M_{J} \end{aligned}

$\begin{align*} E_{Z}^{1} & = \frac{\hbar e}{2m}B_{\text{ext}}g_{J}m_{j} \\ & = \mu_{B} B_{\text{ext}}g_{J}m_{j} \end{align*}$

Wo $\mu_{B}$ ist das Bohr-Magneton.

Erwartungswert des Gesamtdrehimpulses ⟨J⟩⟨J⟩\langle J \rangle

Zephyrus

Zephyrus

Kyle Kanos

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user82572

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