Erwartungswert des Ortsoperators für Drehimpulszustände

Wenn${\cal P}$der unitäre und selbstadjungierte Paritätsoperator ist, das ist allgemein bekannt${\cal P} |j, m\rangle = (-1)^j|j,m\rangle$wohingegen

$${\cal P} X_k = -X_k {\cal P} \quad \mbox{and} \quad {\cal P} P_k = -P_k {\cal P}$$ für $k=1,2,3$mit $X_k$Positionsoperator in Bezug auf die $k$-te Achse und $P_k$der analoge Impulsoperator.

Der Text der Übung verwendet tatsächlich einen etwas unsachgemäßen Formalismus, da$|j,m\rangle$gibt nur den Teil des Vektors in an$L^2(\mathbb S^2, d\Omega)$aber über den radialen Teil wird nichts gesagt: eine weitere Quantenzahl$n$in Bezug auf die radiale Variable,$|n, j, m\rangle$, sollte hinzugefügt werden, aber es spielt keine Rolle, da es die oben geschriebene Identität nicht ungültig macht${\cal P} |n, j, m\rangle = (-1)^j|n, j,m\rangle$

Der in Ihrer Klammer erscheinende Operator ist$O= X_1^2 P_1$bis hin zu numerischen Faktoren (und Feinheiten bei Domänen werde ich hier ignorieren), so dass,

$${\cal P} O = -O{\cal P}\:.$$ Endlich damit $O$, $$\langle j, m| O|j, m\rangle= (-1)^j \langle j, m| O {\cal P}|j, m\rangle = (-1)^j (-1)\langle j, m| {\cal P} O|j, m\rangle = (-1)^j (-1) (-1)^j\langle j, m| O|j, m\rangle = -\langle j, m| O|j, m\rangle\:.$$ Zusammenfassen $$\langle j, m| O|j, m\rangle= -\langle j, m| O|j, m\rangle$$ so dass $$\langle j, m| O|j, m\rangle= 0$$ wie gewünscht.

Beachten Sie, dass wir durch explizites Schreiben der radialen Quantenzahl eine genauere Identität erhalten würden

$$\langle n, j, m| O|n', j', m'\rangle =0$$ entlang dem gleichen Argument bereitgestellt $j+j'$ist gerade. Ich betone, dass wir haben können $n \neq n'$Und $m \neq m'$über.

Als letzte Bemerkung ist es nicht richtig zu sagen, dass dies der Erwartungswert von ist$O$seit$O$ist nicht selbstadjungiert (noch hermitesch).

Sie müssen zuerst Ihre Drehimpulszustände in sphärische Harmonische umwandeln und dann von sphärischen Harmonischen in kartesische Koordinaten. Das Problem erwähnt keinen radialen Teil, daher gehe ich davon aus, dass es sich um einen generischen handelt$f(r)$.

Alternativ können Sie konvertieren$\partial/\partial x$Und$x^2$in sphärische Koordinaten und lassen diese dann auf die entsprechenden sphärischen Harmonischen wirken.

In beiden Fällen müssen Sie konvertieren

$$\vert \ell,m\rangle \rightarrow f(r)Y_{\ell,m}(\theta,\phi)\, .$$