Problem über Drehimpuls in der Quantenmechanik

Question

Problem über Drehimpuls in der Quantenmechanik

pter26

Ein Teilchen mit Spin $\frac{1}{2}$ bei $t=0$ befindet sich in einem Quantenzustand, der durch die Wellenfunktion beschrieben wird:
$Ψ = (| + ⟩ + (1 + \cos θ) | - ⟩) F (R) .$ $\Psi=(|+\rangle +(1+\cos\theta) |-\rangle)f(r).$ Die zeitliche Entwicklung ist gegeben durch $H = \frac{ω}{ℏ} (L_{X}^{2} + L_{j}^{2})$ $H=\frac{\omega} {\hbar} (L_x^2+L_y^2)$

Ich muss den Erwartungswert des Operators berechnen $O=J_+J_-$

Wegen der Anwesenheit des Cosinus habe ich den Winkelanteil des Quantenzustandes mit der sphärischen Harmonischen geschrieben, das weiß ich

Y_{1}^{0} = \sqrt{\frac{3}{4 π}} C Ö S θ

$Y_1^0=\sqrt{\frac{3}{4\pi}}cos\theta$ (

Y_{ℓ}^{m}

$Y_\ell^m$ ) So

C Ö S θ = \sqrt{\frac{4 π}{3}} Y_{1}^{0}

$cos\theta=\sqrt{\frac{4\pi}{3}}Y_1^0$ Das kenne ich auch

Y_{0}^{0} = \sqrt{\frac{1}{4 π}}

$Y_0^0=\sqrt{\frac{1}{4\pi}}$ Am Ende erhielt ich (nach einer Renormierung)

Ψ = G (R) (| 00 ⟩ | + ⟩ + | 00 ⟩ | - ⟩ + \frac{1}{\sqrt{3}} | 10 ⟩ | - ⟩)

$\Psi=g(r) (|00\rangle|+\rangle+|00\rangle|-\rangle+\frac{1}{\sqrt{3}}|10\rangle|-\rangle)$ Wo

| L^{2}, L_{z} ⟩ = | 00 ⟩ = Y_{0}^{0}

$|L^2, L_z\rangle=|00\rangle=Y_0^0$ Und

| 10 ⟩ = Y_{1}^{0}

$|10\rangle=Y_1^0$

Mit der erhaltenen zeitlichen Entwicklung:

Ψ_{T} = G (R) (| 00 ⟩ | + ⟩ + | 00 ⟩ | - ⟩ + \frac{1}{\sqrt{3}} e^{- \frac{ich ω T}{\sqrt{3}}} | 10 ⟩ | - ⟩)

$\Psi_t=g(r) (|00\rangle|+\rangle+|00\rangle|-\rangle+\frac{1}{\sqrt{3}}e^{-\frac{i\omega t} {\sqrt{3}}}|10\rangle|-\rangle)$ aber jetzt sollte ich die Zusammensetzung der Drehimpulse anwenden, um zu rechnen

⟨ O ⟩

$\langle O\rangle$ und hier ist das Problem, ich habe die Zusammensetzung nie in einem Fall einer Wellenfunktion angewendet, die von zwei verschiedenen Werten von abhängt

ℓ

$\ell$ Ich dachte, dass ich die beiden Teile mit unterschiedlichen getrennt behandeln könnte

ℓ

$\ell$ aber ich weiß nicht, ob es möglich ist! Wie kann ich dieses Problem lösen?

Deschele Schilder

Wie hast du (nach einer Renormierung) den Faktor gefunden

\frac{1}{\sqrt{3}}

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ ? Sollte es nicht sein

\sqrt{1 - \frac{1}{π}}

$\sqrt{1-\frac{1}{\pi}}$ ? Und warum hast du getauscht

f (r)

$f(r)$ von

g (r)

$g(r)$ ?

Antworten (1)

Problem über Drehimpuls in der Quantenmechanik

Wie hast du (nach einer Renormierung) den Faktor gefunden $\frac{1}{\sqrt{3}}$ ? Sollte es nicht sein $\sqrt{1-\frac{1}{\pi}}$ ? Und warum hast du getauscht $f(r)$ von $g(r)$ ?

secavara · Answer 1

Ich denke nicht, dass es notwendig ist, auf die Basis des Gesamtdrehimpulses zu gehen, um diesen Ausdruck zu berechnen. Im Prinzip könntest du einfach schreiben

Ö = J_{+} J_{-} = (L_{+} + S_{+}) (L_{-} + S_{-})

$\begin{equation} O = J_+ J_- = (L_+ + S_+)(L_- + S_-) \end{equation}$ und verwenden Sie die üblichen Formeln für diese Leiteroperatoren.

Sie können die Berechnung sogar vereinfachen, indem Sie die Tatsache verwenden, dass das hermitesche Konjugat von $J_+$ Ist $J_-$ und umgekehrt. Das bedeutet, dass Sie zuerst den Zustand berechnen können $|\phi\rangle = J_- |\psi\rangle$ . Und das dann realisieren

⟨ ψ | Ö | ψ ⟩ = ⟨ ψ | J_{+} J_{-} | ψ ⟩ = ⟨ ϕ | ϕ ⟩ .

$\begin{equation} \langle\psi|O|\psi\rangle = \langle\psi|J_+ J_-|\psi\rangle =\langle\phi|\phi\rangle . \end{equation}$ Es dreht sich also alles ums Rechnen

J_{-} | ψ ⟩ = (L_{-} + S_{-}) | ψ ⟩

$J_- |\psi\rangle = (L_- + S_-) |\psi\rangle$ und das innere Produkt mit sich selbst zu finden.

Und was ist, wenn ich den mittleren Wert von finden muss $J^2$ in so einer Situation?
Sie können ähnliche Tricks anwenden. In diesem Fall, da Sie den Erwartungswert bereits berechnet haben $J_+ J_-$ , können Sie die Identität verwenden $J^2 = J_+ J_- + J^2_z - \hbar J_z$ . Und dann schreiben $J_z = L_z + S_z$ .

Problem über Drehimpuls in der Quantenmechanik

pter26

Deschele Schilder

Antworten (1)

secavara

pter26

secavara

Erwartungswerte von LxLxL_x- und LyLyL_y-Operatoren in LzLzL_z-Eigenzuständen

Einschränkung der Quantenzahlen des Bahndrehimpulses

Erwartungswert des Ortsoperators für Drehimpulszustände

Verwandlung in einen rotierenden Rahmen in der xxx-Basis

Erwartungswert des Gesamtdrehimpulses ⟨J⟩⟨J⟩\langle J \rangle

Hermitesche Konjugation des Differentialoperators

Ist ⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩\langle\psi|\hat{A}|\psi\rangle = \langle\psi|\hat{B}|\psi\rangle für alle |ψ⟩|ψ⟩|\psi\rangle implizieren, dass A^=B^A^=B^\hat{A} = \hat{ B}?

Wie kommt r¯×(∇¯×)−∇¯×(r¯×)r¯×(∇¯×)−∇¯×(r¯×)\bar{r}\times(\bar{\nabla} \times) - \bar{\nabla}\times(\bar{r}\times) beziehen sich auf den Bahndrehimpulsoperator?

Können wir das ohne explizite Rechnung beweisen?

Probleme beim Verständnis der Nielsen & Chuang-Übung