Erwartungswerte von LxLxL_x- und LyLyL_y-Operatoren in LzLzL_z-Eigenzuständen

Eine andere, anspruchsvollere Antwort nutzt die Tatsache, dass$L_z$erzeugt die Drehungen um die$z$Achse.

Mit einer Umdrehung von$\pi$um$z$Sie können das Vorzeichen von umkehren$L_x$(oder der Projektion von$\vec{L}$entlang eines Einheitsvektors senkrecht zu$z$):

$$e^{-i\pi L_z} L_x e^{i\pi L_z} = -L_x$$ Als Konsequenz $$\langle a|e^{-i\pi L_z} L_x e^{i\pi L_z}|a \rangle = -\langle a|L_x|a\rangle\tag{1}$$ Aber $e^{i\pi L_z}|a \rangle = e^{i\pi a}|a \rangle$so dass (1) neu geschrieben werden kann $$\langle a|e^{-i\pi a} L_x e^{i\pi a}|a \rangle = -\langle a|L_x|a\rangle\:,$$ das ist $$\langle a| L_x e^{-i\pi a} e^{i\pi a}|a \rangle = -\langle a|L_x|a\rangle\:,$$ nämlich $$\langle a| L_x |a \rangle = -\langle a|L_x|a\rangle\:,$$ das impliziert $\langle a|L_x|a\rangle=0$.

Nach der Definition des Erwartungswerts:

$$\begin{equation} \langle\hat{A}\rangle=\langle a|\hat{A}|a\rangle \end{equation}$$ Wo $\hat{A}$ist die Observable, an der Sie interessiert sind (d. h. $L_x, L_y$für diesen Fall). Verwenden Sie auch die Ausdrücke für $L_x, L_y$: $$\begin{equation} L_x=\frac{L_++L_-}{2}, \quad L_y=\frac{L_+-L_-}{2i} \end{equation}$$ Vorausgesetzt, Sie befinden sich in einem Eigenzustand von $L_z$(ein beliebiges |a $\rangle$) Wenn Sie mit diesen Operatoren auf ket wirken, erhalten Sie die $|a+1\rangle$, $|a-1\rangle$jeweils, die orthogonale Zustände in Bezug auf sind $|a\rangle$. Ihr Ergebnis wird also in beiden Fällen 0 sein ...