Ableitung des Drehimpulsoperators

Question

Ableitung des Drehimpulsoperators

Vince M

Ich habe ein Buch über theoretische Quantenmechanik gelesen und die Autoren haben den (Orbital-) Drehimpulsoperator als den Operator eingeführt, der Rotationen um eine (beliebige) Achse erzeugt. Dazu zeigten sie zunächst, dass jede Rotationsmatrix, die einer Rotation des Winkels Theta um eine Achse e entspricht, geschrieben werden kann als:

R (e, ϑ) = \exp [ϑ Ω_{e}],

$\mathbf R\left(\mathbf e, \,\vartheta\right) = \exp\left[\vartheta\boldsymbol\Omega_e\right],$

Wo $\Omega$ ist eine schiefsymmetrische Matrix.

Anschließend untersuchten sie, wie ein unitärer Operator, der einer Rotation entspricht, auf die Wellenfunktion wirkt, und setzten die beiden schließlich mit der Formel in Beziehung:

\begin{aligned} ψ (e^{- ϑ Ω_{e}} X) & = (\hat{ICH} - ϑ Ω_{e} X \cdot \nabla + \frac{ϑ^{2}}{2!} {(Ω_{e} X \cdot \nabla)}^{2}) ψ (X) + \dots \\ (27.82) & = (e^{- ϑ (Ω_{e} X) \cdot \nabla} ψ) (X) . \end{aligned}

$\begin{align} \psi\left(e^{-\vartheta\boldsymbol{\Omega}_e}\mathbf x\right)&=\left(\hat{I}-\vartheta\boldsymbol\Omega_e\mathbf x\cdot\nabla+\frac{\vartheta^2}{2!}\left(\boldsymbol\Omega_e\mathbf x\cdot\nabla\right)^2\right)\psi\left(\mathbf x\right)+\cdots \\ &=\left(e^{-\vartheta(\boldsymbol\Omega_e\mathbf x)\cdot\nabla}\psi\right)\left(\mathbf x\right).\tag{27.82} \end{align}$

die sie den Leser zu beweisen baten. Ich versuche schon seit einiger Zeit, das Ergebnis zu beweisen (indem ich einfach die linke Seite der Gleichung in Bezug auf Theta ableite), aber ich komme leider nicht wirklich weiter. Vielleicht ist es nur ein einfacher Trick, den ich übersehe.

Für Anregungen oder Hinweise wäre ich jedenfalls dankbar.

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Ableitung des Drehimpulsoperators

secavara · Answer 1

Die Sache ist, dass die Überprüfung in kartesischen Koordinaten von Hand sehr schnell unordentlich werden kann. Wenn Sie es wirklich versuchen wollen, können Sie es stattdessen mit sphärischen Koordinaten versuchen und nur eine Drehung um die in Erwägung ziehen $z$ Achse. Dann die Drehung $\exp \left[ - \vartheta \, \Omega_z \right]$ aufgetragen auf $\mathbf{x}$ , mit $\left( \Omega_z \right)_{ij}=\varepsilon_{ij3}$ Und $\mathbf{x}=r \left\{\sin\theta \cos \phi,\sin\theta \sin \phi,\cos\theta\right\}$ , tut es einfach $\phi \rightarrow\phi+\vartheta$ . Dann kann Ihre Aussage geschrieben werden als

ψ (R, θ, ϕ + ϑ) = \exp [ϑ \partial_{ϕ}] ψ (R, θ, ϕ),

$\begin{equation} \psi \left(r,\theta,\phi+\vartheta \right) = \exp \left[\vartheta \, \partial_\phi \right] \, \psi \left(r,\theta,\phi \right) \, , \end{equation}$ was nur eine Taylorentwicklung ist.

Dann kann man nur argumentieren, dass dies den allgemeinen Fall abdeckt, da man einfach ein an die Rotation angepasstes Koordinatensystem verwenden kann, so dass die Rotationsachse mit der übereinstimmt $z$ Achse. Dies setzt voraus, dass in die Winkelachsenparametrierung beliebige Drehungen geschrieben werden können.

Ableitung des Drehimpulsoperators

Vince M

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secavara

Wie kommt r¯×(∇¯×)−∇¯×(r¯×)r¯×(∇¯×)−∇¯×(r¯×)\bar{r}\times(\bar{\nabla} \times) - \bar{\nabla}\times(\bar{r}\times) beziehen sich auf den Bahndrehimpulsoperator?

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