Beweisen Sie, dass Li=ϵijkxjpkLi=ϵijkxjpkL_i = \epsilon_{ijk} x_ j p_ k

Question

Beweisen Sie, dass Li=ϵijkxjpkLi=ϵijkxjpkL_i = \epsilon_{ijk} x_ j p_ k

Feuerball.1

Beweise das $L_i$ ; i = 1, 2, 3 der ang. Impulsoperatoren hängen mit den kartesischen Komponenten der Orts- und Impulsoperatoren zusammen $L_i = \epsilon_{ijk} x_ j p_ k$ (Summierungskonvention: Summe über wiederholte Indizes).

Ich bin zu dem Teil unter folgendem Link gekommen, wie

L_{X} = - ι ℏ (j \frac{\partial}{\partial z} - z \frac{\partial}{\partial j})

$L_x=-\iota\hbar(y\frac{\partial}{\partial z}-z\frac{\partial}{\partial y})$

L_{j} = - ι ℏ (z \frac{\partial}{\partial X} - X \frac{\partial}{\partial z})

$L_y=-\iota\hbar(z\frac{\partial}{\partial x}-x\frac{\partial}{\partial z})$

L_{z} = - ι ℏ (X \frac{\partial}{\partial j} - j \frac{\partial}{\partial X})

$L_z=-\iota\hbar(x\frac{\partial}{\partial y}-y\frac{\partial}{\partial x})$ aber der nächste Schritt ist ein wenig zu schnell

L_{ich} = - ι ℏ ϵ_{ich J k} X_{J} \frac{\partial}{\partial X_{k}}

$L_i=-\iota\hbar\epsilon_{ijk}x_j\frac{\partial}{\partial x_k}$

Wie haben wir diesen letzten Schritt erreicht? Und welche Transformation muss ich tun, damit die RHS so aussieht

L_{ich} = ϵ_{ich J k} X_{J} P_{k}

$L_i = \epsilon_{ijk} x_ j p_ k$

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Ich denke, Sie verstehen das Levi-Civita-Symbol nicht - die Epsilons

ϵ_{i j k}

$\epsilon_{ijk}$ .

Dirakologie

Ich denke, da gibt es nichts zu beweisen

\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}

$\vec L=\vec r\times\vec p$ ist eine Definition.

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Beweisen Sie, dass Li=ϵijkxjpkLi=ϵijkxjpkL_i = \epsilon_{ijk} x_ j p_ k

Ich denke, Sie verstehen das Levi-Civita-Symbol nicht - die Epsilons $\epsilon_{ijk}$ .
Ich denke, da gibt es nichts zu beweisen $\vec L=\vec r\times\vec p$ ist eine Definition.

ZeroTheHero · Answer 1

Am einfachsten geht das mit roher Gewalt $(x,y,z)=(1,2,3)$ und Verwenden der expliziten Werte $\epsilon_{123}=\epsilon_{231}=\epsilon_{312}=1$ , $\epsilon_{213}=\epsilon_{132}=\epsilon_{321}=-1$ , mit den anderen Kombinationen $0$ .

Dann zum Beispiel:

\begin{aligned} L_{X} & = L_{1} = - ich ℏ ϵ_{1 J k} X_{J} \frac{\partial}{\partial X_{k}}, \\ = - ich ℏ (ϵ_{123} X_{2} \frac{\partial}{\partial X_{3}} + ϵ_{132} X_{3} \frac{\partial}{\partial X_{2}}), \\ = - ich ℏ (X_{2} \frac{\partial}{\partial X_{3}} - X_{3} \frac{\partial}{\partial X_{2}}), \\ = - ich ℏ (j \frac{\partial}{\partial z} - z \frac{\partial}{\partial j}) . \end{aligned}

$\begin{align} L_x&=L_1=-i\hbar\epsilon_{1jk}x_j\frac{\partial }{\partial x_k}\, ,\\ &=-i\hbar\left(\epsilon_{123}x_2\frac{\partial }{\partial x_3}+\epsilon_{132} x_3\frac{\partial}{\partial x_2}\right)\, ,\\ &=-i\hbar\left( x_2\frac{\partial }{\partial x_3}-x_3\frac{\partial }{\partial x_2}\right)\, ,\\ &= -i\hbar\left(y\frac{\partial }{\partial z} - z\frac{\partial }{\partial y}\right). \end{align}$

L_{y}

$L_y$ Und

L_{z}

$L_z$ werden auf die gleiche Weise durchgeführt wie

L_{x} .

$L_x.$

Endlich seit $-i\hbar \partial/\partial x_k=p_k$ , der letzte Schritt folgt.

korrigierte meine Ausdrücke, wenn Sie den Teil für den Fehler entfernen könnten, um zu verhindern, dass andere verwirrt werden

Selene Rouley · Answer 2

Dies ist die Definition des Kreuzprodukts: die $i^{th}$ Bestandteil des Kreuzprodukts zwischen $x$ Und $p$ Ist $\epsilon_{i\,j\,k}\,x_j\,p_k$ . Wie in der Antwort von ZeroTheHero beweisen Sie hier nicht wirklich etwas, sondern erweitern einfach die Definition.

Die gerichtete Fläche des Parallelogramms definiert durch $x$ Und $p$ ist die Zweierform $x\wedge p$ . Dann das Hodge Dual, mit implementiert $\epsilon$ wandelt dieses gerichtete Ebenenelement in einen Vektor um, der in drei Dimensionen äquivalent ist, da der Vektor die Ebene, zu der er senkrecht steht, vollständig definiert. So definieren wir das Kreuzprodukt: als „vektorisierte“ Version der gerichteten Fläche des Parallelogramms, die durch zwei Vektoren definiert ist.

Das ist alles wahr, aber ich denke, Dinge wie Hodge Dual zu diskutieren, würde den durchschnittlichen Physikstudenten nur verwirren.
@Omry Möglicherweise: Ich versuche nur, die kahle Aussage zu motivieren, dass "dies einfach die Definition ist", und einem Leser einen Hinweis zum weiteren Lesen zu geben. "So ist es halt" ist ohne Motivation immer etwas unbefriedigend. Wenn Ihnen ein besserer Weg einfällt, würde ich gerne eine Antwort sehen: Es gibt sicherlich etwas Intuition, das wir hier hinzufügen können, und meiner Meinung nach ist das gerichtete Parallelogramm die beste geometrische Motivation, die man sich vorstellen kann.

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