Quantenkommutator

Question

Quantenkommutator

MeinBenutzerIstDas

Ich habe diesen Kommutator gegeben:

[P X P, P]

$\left[PXP,P\right]$ Sein

P ψ = - i ℏ \partial_{x} ψ

$P\psi=-i\hbar\partial_x\psi$ , Und

X ψ = x ψ

$X\psi=x\psi$

Ich habe es auf zwei Arten gelöst, die erste besteht darin, den Kommutator auf eine Funktion anzuwenden $\psi$ und sehen, was ich bekomme. Mein Endergebnis ist:

[P X P, P] = - ich ℏ^{3} \partial_{X X}

$\left[PXP,P\right]=-i\hbar^3\partial_{xx}$ Der zweite verwendet einige Kommutatoreigenschaften:

[P X P, P] = - [P, P X P] = - (P [P, X P] + [P, P] X P)

$\left[PXP,P\right]=-\left[P,PXP\right]=-(P\left[P,XP\right]+\left[P,P\right]XP)$

[P, P] = 0

$\left[P,P\right]=0$ , also verschwindet der zweite Term. Ich erweitere den ersten Term noch einmal:

- P [P, X P] = - P (X [P, P] + [P, X] P) = - P [P, X] P = ich ℏ P^{2} = - ich ℏ^{3} \partial_{X X}

$-P\left[P,XP\right]=-P(X[P,P]+[P,X]P)=-P[P,X]P=i\hbar P^2=\boxed{-i\hbar^3\partial_{xx}}$

Ich bekomme wieder das gleiche Ergebnis. Als der Lehrer es im Unterricht löste, war das Endergebnis:

[P X P, P] = 2 ich ℏ P^{2}

$\left[PXP,P\right]=2i\hbar P^2$ Ich habe keine Ahnung wo das

2

$2$ kommt von. Übersehe ich etwas? Mache ich etwas falsch?

Antworten (3)

Quantenkommutator

JoshPhysik · Answer 1

Ihr Lehrer scheint einen Fehler gemacht zu haben. Ich stelle mir vor, dass er/sie so etwas getan hat:

\begin{aligned} [P X P, P] & = P [X P, P] + [P X, P] P \\ = P (X [P, P] + [X, P] P) + (P [X, P] + [P, P] X) P \\ = P [X, P] P + P [X, P] P \\ = 2 ich ℏ P^{2} \end{aligned}

$\begin{align} [PXP, P] &= P[XP,P]+[PX,P]P \\ &= P(X[P,P]+[X,P]P)+(P[X,P]+[P,P]X)P \\ &= P[X,P]P+P[X,P]P \\ &= 2i\hbar P^2 \end{align}$ Beachten Sie, dass die erste Gleichheit falsch ist. Sie können Operatoren nicht nach links und rechts abziehen, wenn sich drei Operatoren in der ersten Nut des Kommutators befinden!

+1 Die Schlussfolgerung von @MyUserIsThis war offensichtlich richtig, aber ich konnte nicht erkennen, welche Art von Fehler eine gegeben haben könnte $2$ . Als zusätzliche Überprüfung für das OP verwenden Sie $[AB,C] = A[B,C] + [A,C]B$ Anscheinend versucht die Lehrerin die Identität zu verwenden, was eine zweimalige Bewerbung geben würde $[PXP,P] = P[XP,P] + [P,P]XP = PX[P,P] + P[X,P]P = i\hbar P^2$ .

GuySoft · Answer 2

Ich glaube, Du hast recht. Mit wirklich einfacher Kommutatormathematik. Alles, was Sie brauchen, ist dies:

[A B, C] = A [B, C] + [A, C] B

$[AB,C] = A[B,C] + [A,C]B$ Dann in Ihrem Fall:

A = P

$A=P$

B = X P

$B=XP$

C = P

$C=P$

[P X P, P] = P X [P, P] + [P, P] X P = P X [P, P] + P [X, P] P + [P, P] X P

$[PXP,P] = PX [P,P] + [P,P]XP = PX[P,P] + P[X,P]P + [P,P] XP$ Wie Sie sagten, ist [P,P] antisymmetrisch zu sich selbst, und daher können wir alle [p,p]-Terme entfernen. Wir haben dann nur noch einen Begriff übrig:

[P X P, P] = P [X, P] P

$[PXP,P] = P[X,P]P$ und wie Sie wissen (wir haben die Operatoren so definiert, dass sie dies tun)

[X, P] = ich ℏ

$[X,P]= i \hbar$

Wir können also schreiben:

P (ich ℏ) P

$P(i \hbar) P$ . Wir können den Skalar so verschieben:

[P X P, P] = ich ℏ P^{2}

$[PXP,P] = i \hbar P^2$

Ich kann an keinem meiner Schritte etwas falsch finden, also bin ich mir ziemlich sicher, dass die 2 nicht da sein sollte

Tim Crosby · Answer 3

Beide Antworten sind richtig, aber Sie können es ohne Regeln tun, obwohl es grundlegende sind

$[PXP,P] = PXP^2-P^2XP$

$[XP^2-P^2X]P$

$[x\frac{d^2}{dx^2}\psi-{\frac{d^2}{dx^2}(x\psi)}]P$

$[x\frac{d^2}{dx^2}\psi -[\frac{d}{dx}(\psi + \psi'x)]]P$

$[(-ih)^2[x\frac{d^2}{dx^2}\psi -[ (2\psi' + \psi''x )]]]P$

$[(-ih)^2 (-2\psi')]P$

$[(-ih)(-ih)(-2\psi')]P$

$[2ih(-ih)(\psi')]P$

Du musst wissen

$(-ih)(\psi')= P$

So $[XP^2-P^2X] = 2ihP$

So $[XP^2-P^2X]P = 2ihP^2$

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