Grundlegende Kommutierungsbeziehungen in der Quantenmechanik

Ich weiß auch, dass L und S pendeln, aber ich bin mir nicht sicher, warum. Ich habe gehört, dass es einfach daran liegt, dass sie auf Differenzvariablen wirken, aber ich verstehe nicht genau, was das bedeutet. Gibt es eine Möglichkeit, dies explizit anzuzeigen?

Angenommen, wir haben zwei Hilbert-Räume$H_1$und$H_2$, ein Operateur$A_1$Einwirken auf$H_1$, und einen Operator$A_2$Einwirken auf$H_2$. Lassen$H = H_1 \otimes H_2$. Dann können wir definieren$A_1$und$A_2$an$H$durch Definieren

$$\begin{align} A_1(|a_1\rangle \otimes |a_2\rangle) &= A_1|a_1\rangle \otimes |a_2\rangle \\ A_2(|a_1\rangle \otimes |a_2\rangle) &= |a_1\rangle \otimes A_2|a_2\rangle \end{align}$$ wo $|a_1\rangle \in H_1, |a_2\rangle \in H_2$; und erstreckt sich linear auf alle $H$. Dann $$\begin{align} A_1 \circ A_2(|a_1\rangle \otimes |a_2\rangle) &= A_1(|a_1\rangle \otimes A_2|a_2\rangle) \\ &= A_1|a_1\rangle \otimes A_2|a_2\rangle \\ &= A_2(A_1|a_1\rangle \otimes |a_2\rangle) \\ &= A_2 \circ A_1(|a_1\rangle \otimes |a_2\rangle) \end{align}$$ also verschwindet der Kommutator auf allen reinen Tensoren und damit auf allen von $H$.

Genau diese Situation haben wir bei den Betreibern$L$und$S$. Im Allgemeinen lebt die Wellenfunktion eines Teilchens in einem Tensorproduktraum. Der räumliche Anteil der Wellenfunktion lebt in einem Raum, der der quadratintegrierbaren Funktionen weiter$\mathbb{R}^3$. Der Spin-Teil hingegen lebt in einem Spinor-Raum, dh einer Repräsentation von$SU(2)$.$L$wirkt auf den räumlichen Teil, während$S$wirkt auf den Spinteil.

Was sind die verbleibenden Vertauschungsbeziehungen zwischen$J$,$J^2$,$L$,$L^2$,$S$, und$S^2$?

Diese sollten Sie anhand der Ihnen bereits bekannten Kommutierungs- und Antikommutierungsbeziehungen sowie der Eigenschaften von Kommutatoren und Antikommutatoren selbst erarbeiten können. Zum Beispiel,

$$[J_i, L_j] = [L_i + S_i, L_j] = [L_i, L_j] + [S_i, L_j] = i\hbar\epsilon_{ijk} L_k$$

Ebenfalls:

$$\begin{align} [J_i^2, L_j] &= J_i[J_i, L_j] + [J_i, L_j]J_i \\ &= J_i(i\hbar \epsilon_{ijk}L_k) + (i\hbar\epsilon_{ijk}L_k)J_i \\ &= i\hbar\epsilon_{ijk}\{J_i, L_k\} \\ &= i\hbar\epsilon_{ijk}\{L_i + S_i, L_k\} \\ &= i\hbar\epsilon_{ijk}(\{L_i, L_k\} + \{S_i, L_k\}) \\ &= i\hbar\epsilon_{ijk}(2\delta_{ik} I + 2S_i L_k) \\ &= 2i\hbar\epsilon_{ijk} S_i L_k \end{align}$$ wo wir die Tatsache verwendet haben, dass $L_i$und $S_j$pendeln, die Linearität von $[,]$und $\{,\}$, und die Identität

$$[AB, C] = A[B, C] + [A, C]B$$

Vergessen Sie nicht die bosonischen Erzeugungs-/Vernichtungsoperatoren (harmonische Oszillatoroperatoren)

$[a,a^{\dagger}] = 1$

und die Fermion-Gegenstücke

$\{ c, c^{\dagger} \} \equiv cc^{\dagger}+c^{\dagger} c = 1$