Beweis: AAA und BBB kommutieren, daher werden die Funktionen f(A)f(A)f(A) und g(B)g(B)g(B) immer miteinander kommutieren [geschlossen]

Wie kann/kann ich den Zusammenhang eigentlich beweisen

[ A , B ] = 0 ⇒ [ F ( A ) , G ( B ) ] = 0 für alle Funktionen F , G .

Ich frage, weil mich folgender Satz in der Lösung meiner Quantenmechanik-Hausaufgabe irritiert:

Für ich ≠ J , Die N ^ ich pendeln miteinander und damit Funktionen der N ^ ich pendeln immer miteinander.

Wo N ^ ich = A ^ ich † A ^ ich mit den Bose-Operatoren A ^ ich † , A ^ ich . Es ist nicht meine Aufgabe, diesen Zusammenhang zu beweisen, aber der Zusammenhang selbst wurde benötigt, um die Aufgabe lösen zu können.

Der übliche physikalische Beweis dafür geht direkt durch Taylor-Entwicklung F , G .
Aber F Und G muss nicht analytisch sein, also hätte der Physiker schreckliche Kopfschmerzen :P
Zunächst muss definiert werden, was F ( A ) Mittel für Betreiber. Wie AcuriousMind betonte, ist die Taylor-Erweiterung der übliche Weg, und das deckt wahrscheinlich alle Funktionen von Operatoren ab, denen Sie jemals begegnen werden. Aber es gibt zum Beispiel nicht-analytische F ( X ) = e − 1 / X . Eine allgemeinere Definition ist, zu einer Basis zu gehen, wo A ist diagonalisiert (wenn A eine Observable ist, dann sollte dies immer möglich sein) und in der Eigenbasis von A , F ( A ) wirkt diagonal und ist perfekt definiert. Damit kann man aufschreiben F ( A ) auf jeder anderen Grundlage.
(Fortsetzung) Unter Verwendung dieser Definition, da A , B pendeln, sie können gleichzeitig diagonalisiert werden und [ F ( A ) , F ( B ) ] = 0 folgt trivialerweise aus der Tatsache, dass Diagonalmatrizen immer miteinander kommutieren. Obwohl wir es auf einer bestimmten Grundlage beweisen, ist dies eine basisunabhängige Aussage, und wir sind fertig.
@MengCheng Leider kann ich Ihre Antwort nicht als akzeptiert markieren, aber danke, dass Sie es auf leicht verständliche Weise erklärt haben.

Antworten (1)

Für normale Elemente in einer C*-Algebra können Sie kontinuierliche Funktionsrechnungen durchführen, dh wenn A ist also ein normaler Operator F ( A ) ist für alle wohldefiniert F ∈ C ( σ ( A ) ) . Seit σ ( A ) immer kompakt ist, kann man mit Stone-Weierstraß schreiben F als einheitliche Grenze von Polynomen in einer komplexen Variablen und ihrer komplexen Konjugierten. Daher können Sie überprüfen, was Sie für Polynome benötigen. Wenn A Und B dann pendeln A 2 Und B 2 pendeln und so weiter. Somit F ( A ) Und G ( B ) pendeln für alle F ∈ C ( σ ( A ) ) Und G ∈ C ( σ ( B ) ) . Für von Neumann-Algebren kann man dieses Argument auf Borel-Funktionen schieben.

Dies ist eine sehr schöne Antwort, aber ich würde ein paar Dinge ändern, um es klarer zu machen. Erstens denke ich, dass es in "Daher können Sie ...." einen Tippfehler geben könnte, weil es sich derzeit so liest, als ob die Verifikation für Polynome aus Ihrem Stone-Weierstraß-Argument abgeleitet wird : Ich weiß, dass Sie das nicht sagen, aber ich denke das könnte darauf hindeuten. Sie verwenden SW, um ein für Polynome gültiges Ergebnis zu erweitern C ( σ ( A ) ) . Warum also nicht zuerst das Polynom-Bit schreiben (zumal das OP dieses Argument wahrscheinlich in einem Lehrbuch gesehen hat) und dann mit SW zur einheitlichen Grenze übergehen.
Ich denke auch, dass du das irgendwo sagen musst A wird daher als beschränkt angenommen σ ( A ) ist kompakt. Es ist eine Annahme, die das OP nicht angegeben hat, und auch " σ ( A ) ist immer kompakt" dürfte sonst eher aus dem linken Feld für das OP kommen.
Ergänzend gilt die Antwort so wie sie ist nicht für den Zahlenoperator des OP, der selbstadjungiert, aber unbegrenzt ist. Für selbstadjungierte Pendeloperatoren (und das heißt nicht nur [ A , B ] = 0 auf einem geeigneten dichten Gebiet, aber dass alle Spektralprojektionen kommutieren) wird der Beweis sofort durch den Spektralsatz in seiner funktionalen Kalkülform für alle messbaren Funktionen (in Bezug auf die gemeinsame Spektralfamilie) erbracht.
@WetSavannaAnimalakaRodVance Vielen Dank für Ihre Kommentare. Allerdings hast du recht, dass man die Eigenschaft zuerst auf Polynome prüft und dann per SW auf stetige Funktionen erweitern kann. Aus meiner Annahme, dass die Operatoren aus einer C*-Algebra stammen, folgt, dass sie beschränkt sind, sodass diese Bedingung bereits in der Antwort angegeben ist.
Ah, Kontinuität der C*-Operatoren gibt Ihnen das Recht?: Verstanden! Danke.
Ja. Allgemeiner gesagt hat jedes Element einer C*-Algebra eine endliche Norm und jede ∗ -Homomorphismus (wie eine Darstellung) ist immer kontraktiv.
Beweis: AAA und BBB kommutieren, daher werden die Funktionen f(A)f(A)f(A) und g(B)g(B)g(B) immer miteinander kommutieren [geschlossen]
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