Invarianz der Kommutatorbeziehungen bei Basiswechsel

Folgendes berücksichtigen:

Let für Operatoren A ^ Und B ^ es gilt folgende Vertauschungsbeziehung:

(1) [ A ^ , B ^ ] = C ^

und jetzt wissen wir, dass diese Beziehung gilt,

(2) [ A ^ ' , B ^ ' ] = C ^ '

Wo,

A ^ ' = T X ← Y A

B ^ ' = T X ← Y B

C ^ ' = T X ← Y C

(Da Kommutierungsrelationen nicht von einem Basiswechsel abhängen)

Nun ist es einfach, dies für eine unitäre Transformation zu beweisen U (was nichts anderes als eine Änderung der Basis ist) wie folgt:

[ A ^ ' , B ^ ' ] = A ^ ' B ^ ' − B ^ ' A ^ ' = U A U † U B U † − U B U † U A U † = U ( A B − B A ) U † = U C U † = C '

wo jetzt, (ich denke, das ist, wo das Problem liegt 1 )

A ^ ' = U A U †

B ^ ' = U B U †

C ^ ' = U C U †

Hier wird U (das nichts anderes als eine Transformations-/Übergangsmatrix ist) an beiden Enden angewendet, da A hier ein Operator auf einem Ket des Hilbert-Raums ist, im Gegensatz zu der Übergangsmatrix, die nur vormultipliziert wird. 2

Wenn ich versuche zu beweisen ( 2 ) aus ( 1 ) für meinen vorherigen Fall mit Übergangsmatrix passiert dies;

[ A ^ ' , B ^ ' ] = A ^ ' B ^ ' − B ^ ' A ^ ' = T X ← Y A T X ← Y B − T X ← Y B T X ← Y A

Ich stecke hier fest und denke, dass die Auflösung damit zusammenhängt 1 Und 2

Ich denke, wir sollten in der Lage sein, die obige Beziehung zu beweisen, oder funktioniert die Änderung der Basis (nicht die Änderung der Kommutatorbeziehungen) nur für Hilbert-Räume, in denen T (Transformationsmatrizen, die für einen orthonormalen Basiswechsel für den Hilbert-Raum immer unitär sind) auf einem Operator verhalten sich wie U()U^{\dagger} und nicht für einen allgemeinen Basiswechsel, wie ich es oben für Vektorräume versucht habe, die
.... .ähm... Nicht-Hilbert?

So funktioniert ein Basiswechsel bei Operatoren nicht.
Ja @fqq ist richtig. Auch für den allgemeinen Basiswechsel A ' = T A T − 1 und nicht das, was Sie als Beziehungen geschrieben haben.
Übrigens ist es nicht wahr, dass Basisänderungen in Hilbert-Räumen notwendigerweise einheitlich sind. Sie haben a priori keinen Bezug zur Skalarproduktstruktur.
Warum? Ein Operator ist eine quadratische Matrix, und für jede Matrix ist eine Änderungsbasis einfach eine Vormultiplikation mit einer Übergangsmatrix.
@sslucifer Ja, für einen Operator ist es die Gleichung, die Sie geschrieben haben, aber ein Operator ist nur eine quadratische Matrix, und aus der linearen Algebra ist jede Änderung der Basis für eine Matrix das, was ich oben geschrieben habe. Ist es nicht?
@Lost vor der Multiplikation funktioniert mit Vektoren, wie z | v ' ⟩ = T | v ⟩ . Sie können für einen Operator ableiten, dass diese Vormultiplikation nicht wahr ist.
@fqq Es kann leicht bewiesen werden, dass für eine vollständige und orthonormal geordnete Basisänderung eine Transformation immer einheitlich ist.
@sslucifer Es funktioniert für Matrizen, oder? Während ich das in Linearer Algebra studierte, hat mir niemand gesagt, dass diese Matrizen Vektoren sein müssen, damit diese Beziehung gilt.
@Lost natürlich, du hast "orthonormal" hinzugefügt.
@fqq ja ja. Aber die Kommutatorbeziehungen gelten trotzdem auch für nicht-orthonormale Basiswechsel, deren Transformationen nicht-einheitlich (ryt?) sind. Aber danke für den Hinweis.
@Lost Eine Frage, die gültig und hilfreich für andere ist, ist nur eine notwendige Bedingung dafür, dass der Beitrag nicht geschlossen wird; es ist keine hinreichende Bedingung. Auch fehlerhafte Inhalte sind kein Sperrgrund.
@BioPhysicist Was kann ich dann an meiner Frage verbessern, die möglicherweise zu einer Abschlussabstimmung geführt hat?
Es liest sich wie eine Check-my-Work-Frage.
@Lost Ich bin mir nicht sicher, was du meinst. Von Reputation habe ich nichts gesagt.
Ich meinte nur, dass ich mir nicht einmal vorstellen konnte, dass sich das wie eine Frage zur Überprüfung meiner Arbeit lesen würde
Das ist enttäuschend.
@Lost Es ist nur eine Stimme. Eine Stimme allein bedeutet nichts. Es passiert die ganze Zeit.

Antworten (1)

Summiert man über wiederholte Indizes, genügen Einträge in der ursprünglichen Kommutatorbeziehung C ich J = A ich k B k J − A k J B ich k . Die allgemeinste lineare Transformation von Operatoren ist A ich J ' = X ich J M N A M N , und Sie können den Zustand gerne selbst bestimmen X gleichwertig X ich J M N ( A M R B R N − A R N B M R ) = A ich k B k J − A k J B ich k . Aber wie @fqq und @sslucifer bemerken, wenn wir wollen, dass jeder Vektor viz transformiert. v ' = T v wir brauchen T A v = A ' v ' = A ' T v , So A ' = T A T − 1 . (Die Bedingung T − 1 = T † behält das Skalarprodukt bei, aber nicht alle interessierenden Basen sind orthonormal.) Dies ist der Fall X ich J M N = T ich M ( T − 1 ) N J , die Sie überprüfen können, funktioniert. Abhängig von Ihrer Perspektive können Sie diese Transformation also als multiplizierend ansehen A durch einen oder zwei Faktoren.

@Lost das ist eine sehr gute Antwort. Der Grund warum T A v = A ' v ' Denn A v ist auch ein Vektor, der zu demselben Vektorraum gehört, was für jeden Hilbert-Raum gilt. Also der Vektor A v müssen durch die gleiche Beziehung transformiert werden.
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