Wie führt Nichtkommutativität zu Unsicherheit?

Zu dieser Frage gibt es eine Menge Hintergrundmathematik, daher wird es eine Weile dauern, bis die Pointe erreicht ist.

In der Quantenmechanik arbeiten wir nicht mit Zahlen, um den Zustand eines Systems darzustellen. Stattdessen verwenden wir Vektoren . Zum Zwecke einer einfachen Einführung können Sie sich einen Vektor als eine Liste mehrerer Zahlen vorstellen. Daher ist eine Zahl selbst ein Vektor, wenn wir die Listenlänge eins annehmen lassen. Wenn die Listenlänge zwei ist, dann$(.6, .8)$ist ein Beispielvektor.

Die Operatoren sind keine Dinge wie Plus, Minus, Multiplizieren, Dividieren. Stattdessen sind sie Funktionen; Sie nehmen einen Vektor auf und geben einen anderen Vektor aus. Die Multiplikation ist kein Operator, aber die Multiplikation mit zwei schon. Ein Operator wirkt auf einen Vektor. Zum Beispiel, wenn der Operator „mit zwei multiplizieren“ auf den Vektor einwirkt$(.6, .8)$, wir bekommen$(1.2, 1.6)$.

Kommutativität ist eine Eigenschaft zweier zusammen betrachteter Operatoren. Wir können nicht sagen „Operator$A$ist nicht kommutativ", weil wir es mit nichts vergleichen. Stattdessen können wir "Operator" sagen$A$und Betreiber$B$nicht pendeln". Dies bedeutet, dass die Reihenfolge, in der Sie sie anwenden, von Bedeutung ist.

Zum Beispiel let-Operator$A$sein "wechseln Sie die beiden Nummern in der Liste" und Operator$B$sei "subtrahiere den ersten vom zweiten". Um zu sehen, ob diese Operatoren kommutieren, nehmen wir den allgemeinen Vektor$(a,b)$und wenden Sie die Operatoren in unterschiedlicher Reihenfolge an.

Als Beispiel für die Notation, wenn wir den Operator anwenden$A$zu$(a,b)$, wir bekommen$(b,a)$. Das kann geschrieben werden$A(a,b) = (b,a)$.

$$BA(a,b) = (b,a-b)$$

$$AB(a,b) = (b-a,a)$$

Wenn wir die Operatoren in den verschiedenen Reihenfolgen anwenden, erhalten wir ein anderes Ergebnis. Daher pendeln sie nicht. Der Kommutator der Operatoren ist definiert durch

$$\textrm{commutator}(A,B) = [A,B] = AB - BA$$

Dies ist ein neuer Betreiber. Seine Ausgabe für einen gegebenen Eingabevektor wird definiert, indem man den Eingabevektor nimmt und mit darauf einwirkt$B$, dann auf das Ergebnis mit reagieren$A$, dann zum ursprünglichen Vektor zurückgehen und dasselbe in umgekehrter Reihenfolge tun, dann das zweite Ergebnis vom ersten subtrahieren. Wenden wir diesen zusammengesetzten Operator (nämlich: den Kommutator) an$(a,b)$, erhalten wir (durch Subtraktion mit den beiden früheren Ergebnissen)

$$(AB - BA)(a,b) = (-a,b)$$

Also der Kommutator von$A$und$B$ist der Operator, der den ersten Eintrag mit minus eins multipliziert.

Ein Eigenvektor eines Operators ist ein Vektor, der unverändert bleibt, wenn er von diesem Operator bearbeitet wird, außer dass der Vektor mit einer Konstanten multipliziert werden kann. Alles ist ein Eigenvektor des Operators „mit zwei multiplizieren“. Die Eigenvektoren des Schalteroperators$A$sind$\alpha(1,1)$und$\beta(1,-1)$, mit$\alpha$und$\beta$irgendwelche Zahlen. Zum$(1,1)$, das Umschalten der Einträge bewirkt nichts, sodass der Vektor unverändert bleibt. Zum$(1,-1)$, das Umschalten der Einträge multipliziert mit minus eins. Schalten wir dagegen die Einträge ein$(.6,.8)$bekommen$(.8,.6)$, der neue Vektor und der alte sind keine Vielfachen voneinander, also ist dies kein Eigenvektor. Die Zahl, mit der der Eigenvektor multipliziert wird, wenn der Operator darauf einwirkt, wird sein Eigenwert genannt. Der Eigenwert von$(1,-1)$ist$-1$, zumindest wenn es um den Schaltoperator geht.

In der Quantenmechanik gibt es Unsicherheit für einen Zustand, der kein Eigenvektor ist, und Gewissheit für einen Zustand, der ein Eigenvektor ist. Der Eigenwert ist das Ergebnis der physikalischen Messung des Bedieners. Wenn zum Beispiel der Energieoperator auf einen Zustand (Vektor) ohne Ungewissheit in der Energie einwirkt, müssen wir feststellen, dass dieser Zustand ein Eigenvektor ist und dass sein Eigenwert die Energie des Zustands ist. Wenn wir andererseits eine Energiemessung durchführen, wenn sich das System nicht in einem Eigenvektorzustand befindet, könnten wir andere mögliche Ergebnisse erhalten, und es ist unmöglich vorherzusagen, welches es sein wird. Wir erhalten einen Eigenwert, aber es ist der Eigenwert eines anderen Zustands, da unser Zustand kein Eigenvektor ist und nicht einmal einen Eigenwert hat. Welchen Eigenwert wir erhalten, ist dem Zufall überlassen, obwohl die Wahrscheinlichkeiten berechnet werden können.

Das Unschärfeprinzip besagt ungefähr, dass nicht-kommutierende Operatoren nicht beide gleichzeitig Nullunsicherheit haben können, da es keinen Vektor geben kann, der ein Eigenvektor beider Operatoren ist. (Eigentlich werden wir gleich sehen, dass das nicht ganz richtig ist, aber es bringt es auf den Punkt. Tatsächlich können Operatoren, deren Kommutatoren einen nulldimensionalen Nullraum haben, keinen simultanen Eigenvektor haben.)

Der einzige Eigenvektor des Subtraktionsoperators$B$ist$\gamma(0,1)$. Inzwischen sind die einzigen Eigenvektoren des Switch-Operators$A$sind$\alpha(1,1)$und$\beta(1,-1)$. Es gibt keine Vektoren, die Eigenvektoren von beiden sind$A$und$B$gleichzeitig (außer dem trivialen$(0,0)$), also wenn$A$und$B$physikalische Observable darstellten, konnten wir uns nicht auf beide verlassen$A$und$B$zur selben Zeit. ($A$und$B$sind eigentlich keine physikalischen Observablen im QM, ich habe sie nur als einfache Beispiele gewählt.)

Wir würden gerne sehen, dass dies im Allgemeinen funktioniert - jedes Mal, wenn zwei Operatoren nicht pendeln (mit bestimmten Einschränkungen), haben sie keine gleichzeitigen Eigenvektoren. Wir können es durch Widerspruch beweisen.

Vermuten$(a,b)$ist ein Eigenvektor von$A$und$B$. Dann$A(a,b) = \lambda_a(a,b)$, mit$\lambda_a$der Eigenwert. Eine ähnliche Gleichung gilt für$B$.

$$AB(a,b) = \lambda_a\lambda_b(a,b)$$

$$BA(a,b) = \lambda_b\lambda_a(a,b)$$

Da$\lambda_a$und$\lambda_b$Werden nur Zahlen multipliziert, tauschen sie sich aus und die beiden Werte sind gleich. Daher

$$(AB-BA)(a,b) = (0,0)$$

Also der Kommutator von$A$und$B$ergibt Null, wenn es auf ihren simultanen Eigenvektor wirkt. Viele Kommutatoren können jedoch keine Null ergeben, wenn sie auf einen Nicht-Null-Vektor wirken. (Das bedeutet es, einen nulldimensionalen Nullraum zu haben, der bereits erwähnt wurde.) Zum Beispiel hatten unsere Schalter- und Subtraktionsoperatoren einen Kommutator, der einfach die erste Zahl mit minus eins multiplizierte. Ein solcher Kommutator kann keine Null ergeben, wenn er auf etwas einwirkt, das nicht bereits Null ist, also unser Beispiel$A$und$B$können keinen gleichzeitigen Eigenvektor haben, also können sie nicht gleichzeitig sicher sein, also gibt es für sie ein "Unsicherheitsprinzip".

Wenn der Kommutator der Nulloperator gewesen wäre, der alles zu Null macht, dann gibt es kein Problem.$(a,b)$kann sein, was es will und trotzdem die obige Gleichung erfüllen. Wenn der Kommutator etwas gewesen wäre, das einige Vektoren in den Nullvektor umwandelt, wären diese Vektoren Kandidaten für Null-Unsicherheitszustände, aber mir fallen keine Beispiele für diese Situation in der realen Physik ein.

Das bekannteste Beispiel der Unschärferelation in der Quantenmechanik sind die Orts- und Impulsoperatoren. Ihr Kommutator ist die Identität – der Operator, der nichts mit Zuständen macht. (Eigentlich sind es die Identitätszeiten$i \hbar$.) Dies kann eindeutig nichts zu Null machen, daher können Ort und Impuls nicht gleichzeitig sicher sein. Da sich jedoch ihr Kommutator mit multipliziert$\hbar$, eine sehr kleine Zahl im Vergleich zu alltäglichen Dingen, kann der Kommutator für große, energiereiche Objekte als nahezu Null angesehen werden. Daher können Position und Impuls für alltägliche Dinge nahezu sicher sein.

Andererseits kommutieren Drehimpuls- und Energieoperator, sodass beide sicher sein können.

Die mathematisch zugänglichsten nicht-kommutierenden Operatoren sind die Spin-Operatoren, dargestellt durch die Pauli-Spin-Matrizen . Diese befassen sich mit Vektoren mit nur zwei Einträgen. Sie sind etwas komplizierter als die$A$und$B$Operatoren, die ich beschrieben habe, aber sie erfordern keinen vollständigen Kurs in der Mathematik der Quantenmechanik, um sie zu erforschen.

Tatsächlich sagt die Unschärferelation mehr aus, als ich hier geschrieben habe – ich habe der Einfachheit halber Teile weggelassen. Die Unsicherheit eines Zustands lässt sich über die Standardabweichung der Wahrscheinlichkeitsverteilung für verschiedene Eigenwerte quantifizieren. Üblicherweise wird das volle Unsicherheitsprinzip angegeben

$$\Delta A \Delta B \geq \frac{1}{2}\mid \langle[A,B]\rangle \mid$$

wo$\Delta A$ist die Unsicherheit im Ergebnis einer Messung in der mit dem Operator verbundenen Observablen$A$und die Klammern zeigen an, dass ein Erwartungswert gefunden wurde . Wenn Sie Details dazu wünschen, habe ich vor einiger Zeit einige Notizen geschrieben, auf die Sie hier zugreifen können .

Ein einfaches Beispiel für Nichtkommutativität sind Drehungen in 3D, vgl. Zahl.

( Bildquelle: Benjamin Crowell, Allgemeine Relativitätstheorie, S. 256. )

Körperlich sind die Rotationen um die$x$- und die$y$-Achse werden durch Drehimpulsoperatoren erzeugt$\hat{L}_x$und$\hat{L}_y$, die nicht pendeln.

Aus den mathematischen Ausdrücken für$\hat{L}_x$und$\hat{L}_y$, können Sie mit der bereits verlinkten mathematischen Herleitung fortfahren und die entsprechende Unschärferelation herleiten.

Lassen Sie mich abschließend erwähnen, dass Subtraktion und Division Beispiele für binäre Operationen sind, während die Operatoren in der Quantenmechanik zunächst nur einen Eingang haben, es handelt sich um sogenannte unäre Operationen.

Lieber vonjd, Sie wollen sich nur einen Beweis für das "Unschärfeprinzip" ansehen, nämlich eine Ungleichung, die auf der linken Seite die Unsicherheiten und auf der rechten Seite den Kommutator hat, zB at

http://en.wikipedia.org/wiki/Uncertainty_principle#Mathematical_derivations

Ihr Kommentar, dass "Subtraktion und Division" Beispiele für nicht-kommutierende Operatoren sind, zeigt nicht an, dass Sie tatsächlich etwas oben verstehen werden. In der Quantenmechanik sprechen wir immer von linearen Operatoren auf einem Hilbert-Raum. Sogar die nicht kommutierenden Operatoren müssen lineare Operatoren auf dem Hilbert-Raum sein, wie der Ort, der Impuls, der Drehimpuls oder eine andere Observable. Es gibt keine "Division" und nicht einmal "Subtraktion" unter ihnen.

Als ich zum ersten Mal etwas über den Kollaps von Wellenfunktionen erfuhr, war ich von der Idee überrascht, dass die Wellenfunktion einfach ein Eigenzustand der Observablen werden würde – alle anderen Komponenten des Zustandsvektors würden verloren gehen. Nun, es ist nicht so schlimm, wie Sie zunächst erwarten würden, denn der Hilbert-Raum ist wirklich groß.

Aber wenn zwei Operatoren keine gemeinsame Eigenbasis haben – dh wenn sie nicht pendeln, „verlieren“ Sie Informationen über eine Observable, wenn Sie die andere messen. Genau dies kodifiziert die Unschärferelation.