Gilt die Heisenbergsche Unsicherheitsgleichung, wenn eine der Observablen eine Varianz von Null hat?

Von diesem Link Heisenberg Unschärferelation , Es heißt:

Ganz klar, wann Δ P X schrumpft, Δ X immer größer werden muss, um die Heisenbergsche Ungleichung zu erfüllen. Zum Beispiel eine ebene Welle ψ ( X ) = exp ⁡ [ 2 π ich P X / H ] ist eine Eigenfunktion von P = − ich H / ( 2 π )   D / D X , so dass Δ P X = 0 ; ein ebenes Wellenteilchen hat eine Position X das ist völlig unbestimmt. Umgekehrt, wenn die Position des Teilchens sehr gut bestimmt ist, ist sein Impuls sehr unsicher. Die p-Entwicklung (Fourier-Transformation) eines gut lokalisierten Wellenpakets ( Δ X ≈ 0 ) erfordert Eigenzustände mit vielen verschiedenen Eigenwerten P und führt daher zu einer großen Streuung in P .

also könnte eine der Varianzen von der linken Seite dieser Gleichung Null sein (meine Berechnung über das Messen des Spins in unterschiedlichen Basis impliziert auch, dass einer der hermiteschen Operatoren eine Nullvarianz haben kann), diese Gleichung wird zu 0 ≥ H / 4 π was eindeutig falsch ist. Bedeutet dies, dass die Ungleichung bei einer Varianz von 0 nicht funktioniert?

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Antworten (3)

Für die von Ihnen erwähnten Fälle (Ebenenwellen-Eigenzustände des Impulses und Dirac-Delta-Eigenzustände der Position) ist eine der Positions-/Impulsvarianzen Null und die andere unendlich, sodass die Heisenberg-Ungleichung formal lautet

Δ P Δ X = 0 × ∞ ≥ H 4 π .
(Als offensichtliche Anmerkung: Das willkürliche Ignorieren von Unendlichkeiten aus Ihren Berechnungen, nur weil Sie nicht wissen, was Sie damit anfangen sollen, ist offensichtlich ein Rezept für Ärger.)

Dies sollte mit der Tatsache gemildert werden, dass dies keine physikalischen Zustände sind (es ist unmöglich, eine echte ebene Welle zu haben, die den gesamten Raum einnimmt, und es ist unmöglich, ein Teilchen mit unendlicher Genauigkeit zu lokalisieren), und sie fallen nicht hinein die Klasse der Wellenfunktionen (dh der Hilbert-Raum), wo die Heisenberg-Ungleichung ein Theorem ist. Für diese Zustände ist die Ungleichung als Grenze zu verstehen:

Δ P ≥ 1 Δ X H 4 π → ∞ als Δ X → 0.

Nullvarianz bedeutet, dass sich das System im Eigenzustand der entsprechenden Operatoren befindet. Wenn wir zB einen Eigenzustand mit einem bestimmten Impuls messen,

ψ P ( X ) = e ich P X ℏ ,
Die Wahrscheinlichkeitsdichte ist räumlich konstant
| ψ P ( X ) | 2 = C Ö N S T ,
was bedeutet, dass die Position des Teilchens völlig undefiniert ist. (Die mathematische Mehrdeutigkeit wird hier normalerweise gelöst, indem periodische Randbedingungen in Regionen genommen werden [ − L / 2 , L / 2 ] , so dass ψ P ( X ) = e ich P X ℏ / L , Und | ψ P ( X ) | 2 = 1 / L , also überall in der Region einheitlich.)

Aus Sicht der Positions-Impuls-Unschärferelation haben wir

Δ X ≥ ℏ 2 Δ P → + ∞  als  Δ P → 0 .

Die Ableitung der Ungleichung gilt unter zwei Bedingungen: Die Operatoren sind selbstadjungiert UND die Zustände, auf die sie wirken, sind normalisierbar.

Ebene Wellen sind nicht normierbar. Für eine Situation, in der die Operatoren nicht selbstadjungiert sind, siehe diese Frage .

Die Ungleichung ist ansonsten luftdicht und funktioniert die ganze Zeit, auch für 0 -Varianz. In der Tat kann man im konkreten Beispiel den Drehimpuls verwenden Δ L X Δ L j ≥ 1 2 | ⟨ L z ⟩ | und zyklische Permutationen, um zu zeigen, dass Eigenzustände von L X unbedingt haben 0 Durchschnittswert von L j oder L z .

Gilt die Heisenbergsche Unsicherheitsgleichung, wenn eine der Observablen eine Varianz von Null hat?
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