Ist der Erwartungswert immer ein Eigenwert?

Ich würde eigentlich erwarten, dass dies selten vorkommt und nur allgemein wahr ist, wenn der Zustand des Systems einem Eigenzustand entspricht. Dies einfach, weil für einen Staat$\psi = \sum a_{n}\lvert\phi_{n}\rangle$mit Eigenwerten$V_{n}$, du würdest haben$\langle V\rangle = \sum V_{n}\lvert a_{n}\rvert^{2}$, die nicht zwangsläufig gleich einem der sein muss$V_{n}$. Es ist einfach, dies für ein System mit zwei Zuständen mit den beiden Werten von zu überprüfen$V_{n}$anders.

Ein spezifisches quantenmechanisches Beispiel, um das Gegenteil zu zeigen, ist Spin-$\frac{1}{2}$Systeme. Befindet man sich in einem Eigenzustand der$S_{z}$Betreiber, der Erwartungswert von$S_{x}$Ist$0$, hat aber Eigenwerte$\frac{1}{2} \hbar$Und$-\frac{1}{2} \hbar$.

Nein. Das Erwartungsventil ist der Mittelwert der Observable für einen gegebenen Zustand. Der Zustand, den Ihr System annimmt, ist eine Überlagerung (Linearkombination) der Eigenzustände. Sagen Sie zum Beispiel: Sie haben einen unendlichen Potentialtopf der Breite a , dann sind die Energie-/Impuls-Eigenzustände:$\Phi_n=\sqrt{\frac{2}{a}}sin(\frac{n\pi x}{a}).e^{-iE_n t/\hbar}$. Sie können jeden anderen Zustand des Systems (at$t=0$) unter Verwendung der Linearkombination dieser Eigenfunktionen (Hinweis: Fourier-Halbsinusreihe). Angenommen, Ihr System befindet sich im Zustand$\Psi$, Dann:

$\quad$Wo$c_n$ist eine komplexe Zahl wie das$|c_n|^2$gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass sich das System in dem Zustand befindet$\Phi_n$wenn die Messung durchgeführt wird. Wenn Sie eine Messung durchführen$\Psi$(sagen wir zum Beispiel Energie), Sie werden bekommen$one$der Werte$E_n$(Energieeigenwerte) entsprechend dem Eigenzustand$\Phi_n$In$(a)$, und die Wahrscheinlichkeit zu bekommen$E_n$Ist$|c_n|^2$. Ganz klar alle$|c_n|^2$ist drin$(a)$sollte sich addieren, um zu geben$1$. Ganz klar der Durchschnittswert von$E$(der Erwartungswert):

Um Ihre Frage abschließend zu beantworten, schauen Sie sich an$(b)$Sie können erkennen, dass der Erwartungswert nicht immer gleich dem Eigenwert ist (es kann sein, vielleicht kann die Summe rein zufällig immer noch einen der ergeben$E_n$), Aber falls$\Psi=\Phi_n$selbst (vergleiche dies mit$(b)$und sehen wie$|c|^2 =1$) dann erhalten Sie immer , egal wie viele Messungen Sie vornehmen$E_n$, So$\langle E \rangle=E_n$.

Für den Eigenzustand war der Erwartungswert der Eigenwert.

Bei einem Operator mit kontinuierlichem Spektrum könnte der Bereich des Erwartungswerts mit dem Bereich des Eigenwerts übereinstimmen.

Es gibt jedoch auch Fälle, in denen der Erwartungswert nicht im Bereich des Eigenwerts enthalten ist.

Betrachten Sie einen Operator$H$mit dem ganzzahligen Eigenwert$i$von$|i\rangle$. Einstellung$a=\frac{1}{\pi}$Und$r=(1-\frac{1}{\pi})$, Wo$|\psi\rangle =\sum_{i=0}^\infty \sqrt{a r^i} |i\rangle$. Die Zustände wurden normalisiert, aber der Erwartungswert$\langle \psi|H|\psi\rangle=\frac{1}{1-r}=\pi$, was eine irrationale Zahl war.

Dies war eine ergänzende Antwort auf die von Pat und Jerry Schirmer.