Quanteneigenwerte, Messungen, Chancen passen nicht zusammen

Ich habe eine Aufgabe mit einem bestimmten Quantenzustand, bezeichnet ϕ = 1 2 [ 0 1 − 1 ] und einen Operator für die Observable B, gegeben durch B = B [ 0 2 0 2 0 0 0 0 2 ]

Und ich werde gebeten, die möglichen Messungen von B für den Quantenzustand zu finden ϕ .

Jetzt; Ich habe zwei verschiedene Methoden ausprobiert (von zwei verschiedenen Lehrern gegeben) und bin mir nicht sicher, welche richtig ist.

Methode 1

Die möglichen Maße von B sollten vom Produkt angegeben werden B | ϕ ⟩ , was den Vektor ergibt

B | ϕ ⟩ = [ B 2 0 − B 2 ]

Was dann darauf hinweist, dass die möglichen Werte eine Messung von B sind B Und − B und ihre jeweiligen Chancen sind ( 2 ) 2 = 1 2 = 50 % jede.

Methode 2 - und hier gibt es ein Problem ...

Die möglichen Messungen von B sind seine Eigenwerte; Ich finde die Eigenwerte von B, gegeben durch das charakteristische Polynom, und erhalte λ = − 2 B , 2 B , 2 B (beachten Sie die Entartung), mit entsprechenden Eigenvektoren

v 1 = [ − 1 1 0 ] , v 2 = [ 0 0 1 ] , v 3 = [ 1 1 0 ]

Ich drücke den Zustand aus ϕ als Linearkombination von diesen. Es ist ϕ = 1 2 ( 1 2 v 1 + 1 2 v 3 − 1 v 2 )

Die Chancen für jeden einzelnen Eigenwert B = λ N sind die Normquadrate der Koeffizienten für den entsprechenden Eigenvektor in der Linearkombination für ϕ . Dh die Chance zu bekommen B = λ 1 = − B sollte sein

| 1 2 1 2 | 2 = 1 8

Und jetzt sieht man wahrscheinlich schon mein Problem, denn die Chancen scheinen nicht zu stimmen. 1 8 + 1 8 + 1 2 ≠ 1.0

Und das Seltsamste ist, für eine andere, ähnliche Aufgabe, mit dem Beobachtbaren L z und einem anderen Quantenzustand, ich habe beide Methoden verwendet und sie haben genau die gleichen Ergebnisse geliefert.

Jedoch; Meine Idee ist, dass das Problem aus der Entartung der Eigenwerte von B entsteht? Das andere Problem (bei dem beide Methoden funktionierten) hatte keine Entartungen in den Eigenwerten für die Matrix [ L z ]

Für Statere in 2. müssen Sie Ihre Eigenvektoren normalisieren.

Antworten (1)

Sie haben es versäumt, Methode 1 überhaupt sinnvoll zu machen; und natürlich ist die Antwort, die Sie geben, falsch. Was Sie daraus entnehmen können, ist ⟨ B ⟩ = B , was Ihrer unsoliden Schlussfolgerung deutlich widerspricht.

Methode 2 ist die Standardmethode, wenn Sie nur Ihre Eigenvektoren richtig normalisiert haben, wie von @ZeroTheHero vorgeschlagen:

Die Eigenwerte von B sind λ = − 2 B , 2 B , 2 B , mit entsprechenden normalisierten Eigenvektoren

v 1 = 1 2 [ − 1 1 0 ] , v 2 = [ 0 0 1 ] , v 3 = 1 2 [ 1 1 0 ] ,
so dass ϕ = ( 1 2 v 1 + 1 2 v 3 − 1 2 v 2 ) .

Infolge, | 1 2 | 2 = 1 4 der Zeit, die Sie messen − 2 B , während | 1 2 | 2 + | 1 2 | 2 = 3 4 der Zeit, in der Sie 2b messen , also im Durchschnitt b , wie oben gefunden.

Entartung ist hier unschuldig.

Danke für die Antwort. Muss nicht mehr als ein glücklicher (oder unglücklicher, je nachdem, wie man es betrachtet) Zufall gewesen sein, dass Methode 1 die richtige Antwort auf diese andere, ähnliche Aufgabe lieferte, die ich gemacht habe.
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