Warum verwenden wir Eigenwerte, um beobachtete Werte in der Quantenmechanik darzustellen?

Eines der Postulate der Quantenmechanik ist, dass jeder Observablen A ein linearer hermitescher Operator A^ entspricht, und wenn wir die Observable A messen, erhalten wir als Ergebnis einen Eigenwert von A^.

Im Geiste ja. Aus technischen Gründen ist dies nicht ganz richtig. Wie von Slereah in den Kommentaren erwähnt, ist die genauere Aussage, dass eine Messung von$A$gibt Werte zurück, die im Spektrum von liegen$\hat A$. Wenn das Spektrum von$\hat A$rein stetig ist, wie dies für die beobachtbare Position eines Teilchens auf einer Geraden der Fall ist$\hat A$eigentlich keine Eigenwerte hat, weil es keine Zustände gibt$\psi$im Hilbert-Raum so dass$\hat A \psi = \lambda \psi$für eine komplexe Zahl$\lambda$.

Dies bringt technische Schwierigkeiten mit sich, aber was für diese Diskussion relevant ist, ist das für jede Beobachtungsgröße$A$, entspricht dort einem selbstadjungierten Operator$\hat A$, und wenn wir das Beobachtbare messen$A$wir erhalten ein Ergebnis, das im Spektrum von liegt$\hat A$.

Dies kann auf verschiedene Arten motiviert werden, aber mein Favorit ist der folgende. Beachten Sie, dass dies nicht der historische Weg zur Quantenmechanik war, der voller Wendungen und Sackgassen war.

Wenn wir die klassische Physik durch die Linse der Hamiltonschen Mechanik betrachten, können wir eine Observable als stetige Funktion von den Phasenraumvariablen (den verallgemeinerten Koordinaten und Impulsen) bis zu den reellen Zahlen definieren. Mit einigen äußerst milden zusätzlichen Annahmen wie der Verbundenheit des Phasenraums impliziert dies sofort, dass die möglichen Ergebnisse für Messungen die Form von zusammenhängenden Intervallen annehmen$\mathbb R$. Beispielsweise sind die möglichen Positionen eines Punktes auf einer unendlichen Linie gegeben durch$\mathbb R$, die möglichen kinetischen Energien für ein solches Teilchen ist das Intervall$[0,\infty)$, und die möglichen z-Koordinaten für ein Teilchen, das an einer Einheitskugel befestigt ist, ist$[-1,1]$.

Die Ergebnisse des Stern-Gerlach-Experiments (bei dem die möglichen z-Komponenten des Spindrehimpulses sind$\{\frac{\hbar}{2},-\frac{\hbar}{2}\}$) und die Emissionsspektren von Wasserstoff (in denen die mögliche gebundene Zustandsenergie den diskreten Satz darstellt$\{-\frac{13.6\text{ eV}}{n^2}\}$) widerspricht diesem Ergebnis sofort. Wir verstehen jetzt auch, dass z. B. die Energiespektren von Festkörpern in getrennten Bändern liegen, was wiederum mit der bisherigen Argumentation nicht vereinbar ist.

Es gibt keinen klaren Weg, die Hamiltonsche Mechanik zu modifizieren, um diese Möglichkeiten zu berücksichtigen, daher sind wir motiviert, nach einem völlig anderen Rahmen zu suchen, der dies kann. Wie sich herausstellt, enthält die Spektraltheorie linearer Operatoren auf Hilbert-Räumen genau die Flexibilität, die wir brauchen. Ein generischer Operator$\hat A$auf einem Hilbertraum hat$\sigma(\hat A)\subseteq \mathbb C$, daher ist es im Zusammenhang mit beobachtbaren Größen vernünftig zu fragen, welche Operatoren Spektren haben, die vollständig in liegen$\mathbb R$; die antwort ist die$\sigma(\hat A)\subseteq \mathbb R \iff \hat A$ist selbstadjungiert$^\dagger$.

Im Ergebnis sagen wir, dass wir unserem System einen Hilbert-Raum zuordnen, der an die Stelle des Phasenraums aus der klassischen Physik tritt und dessen Elemente (grob) den Raum möglicher Zustände des Systems ausmachen. Beobachtbare Größen werden jetzt durch selbstadjungierte Operatoren dargestellt, und ihre Spektren entsprechen möglichen Messergebnissen.

Ein generisches Element eines endlichdimensionalen Hilbert-Raums kann in eine lineare Kombination von Eigenvektoren beliebiger selbstadjungierter Operatoren zerlegt werden. Wenn$\hat A$hat$\lambda$als Eigenwert, dann scheint es nicht unangemessen zu vermuten, dass der entsprechende Eigenzustand einer ist, für den die Messung von gilt$A$kehrt genau zurück$\lambda$. Die Situation ist komplexer, wenn das Spektrum des Operators kontinuierlich ist, aber der Geist des Arguments derselbe bleibt.

Natürlich ist nichts davon ein mathematischer Beweis dafür, dass wir die richtigen Entscheidungen treffen – tatsächlich könnte es keinen solchen Beweis geben. Alles, was wir tun können, ist, diese Ideen in einen kohärenten Rahmen zu werfen, Vorhersagen zu treffen und mit Experimenten zu vergleichen. Tatsächlich ist dieses spezielle Rezept enorm erfolgreich – was jedoch nicht ausschließt, dass es eines Tages durch etwas Besseres ersetzt wird.

$^\dagger$Dies ist nicht ganz richtig - siehe hier für eine Verallgemeinerung. Es ist jedoch ein guter Ausgangspunkt für die Standardformulierung von QM, die dann erweitert werden kann.

Das Stern-Gerlach-Experiment und ähnliche Experimente zeigen

• Ein System hat einen Zustand.
• Die Zustände eines Systems bilden einen Hilbertraum. Sie können eine Reihe von Basiszuständen auswählen und den aktuellen Zustand des Systems als Summe dieser Basiszustände darstellen. ZB für Elektronenspin, Ihre Wahl zwischen oben/unten, links/rechts oder Zuständen in einem anderen Winkel.
• Eine Messung ist eine physikalische Wechselwirkung, die den Zustand des Systems ändert und einen Messwert erzeugt. Im Allgemeinen ist der gemessene Wert probabilistisch, selbst wenn der Zustand bekannt ist. ZB ein Spin-Links-Zustand in einer Spin-Up/Down-Messung erzeugt Spin-Up- und Spin-Down-Ergebnisse mit gleicher Wahrscheinlichkeit.
• Eine Messung ändert den Zustand in einen Zustand, der mit dem gemessenen Wert übereinstimmt. Beispiel: Wenn eine Spin-Up/Down-Messung ein Spin-Up-Ergebnis erzeugt, befindet sich das System in einem Spin-Up-Zustand. Eine andere Messung wird auch einen Spin-up-Wert erzeugen.

Messungen transformieren einen Zustand in einem Hilbert-Raum in einen anderen. Genau das tun Operatoren im Hilbert-Raum.

Eine Messung lässt einige Zustände unverändert und erzeugt einen vorhersagbaren Wert. Einige Operatoren lassen Zustände unverändert. Diese Zustände werden Eigenzustände des Operators genannt.

Ein sehr ähnlicher Operator bringt den Zustand auf ein skalares Vielfaches von sich selbst. Dieser Operator kann sowohl die Wirkung der Messung auf den Zustand des Systems als auch den Messwert darstellen. Das skalare Vielfache/Messwert wird als Eigenwert des Operators bezeichnet. Das gibt uns$\hat{A} \left|a\right> = \lambda \left|a\right>$

Messwerte sind echt. Der Eigenwert ist reell, wenn der Operator selbstadjungiert ist.

Die Größenordnung von$\left|a\right>$ist uns nicht wichtig, also können wir das verlangen$\left<a|a\right> = 1$für alle Staaten. Diese Normalisierung funktioniert gut, wenn wir mit Basiszuständen und Wahrscheinlichkeiten arbeiten.

Indem man behauptet, dass das Beobachtbare$A$durch einen Operator darstellbar ist, der bestimmte Eigenwerte hat, behaupten Sie, dass dies das einzig mögliche Ergebnis der Messung ist$A$sind diese Eigenwerte. Nachdem Sie das System gemessen und sichergestellt haben, dass das Ergebnis ein Eigenwert ist$a_n$dann sind Sie auch sicher, dass sich das System in einem Zustand befindet, der dem Eigenwert zugeschrieben wird$a_n$, also ein spezifischer Eigenzustand. Sie können beispielsweise versuchen zu messen, ob sich ein Partikel in einem Kästchen im linken oder im rechten Teil des Kästchens befindet. Diese Messung wird durch einen Operator beschrieben, der nur zwei Eigenwerte und Eigenzustände hat, weil die Ergebnisse, nach denen wir suchen, nur zwei unterschiedliche Ergebnisse sind.

Das Messpostulat der Quantenmechanik lässt sich so formulieren:

Messung von beobachtbarem$A$wird als probabilistischer Prozess modelliert: Mit Wahrscheinlichkeit$p_i$es wird das Ergebnis geben$a_i$(ein Eigenwert von$A$) beim Werfen des Zustands aus$|\Psi\rangle$(ein normalisierter Vektor) zu$|a_i\rangle$(ein normalisierter Eigenvektor von$\hat{A}$). Die Wahrscheinlichkeiten sind gegeben durch$p_i=|\langle a_i|\Psi\rangle|^2$.

Eine Messung muss die folgende physikalische Anforderung erfüllen.

Bei einer beobachtbaren Messung$A$auf einem Zustand hat das Ergebnis gegeben$a_i$, dann führt eine sofortige Wiederholung der Messung zum gleichen Ergebnis$a_i$nochmal. Dies ist eine Grundvoraussetzung für jede Messung (sonst würden wir es nicht einmal eine Messung nennen). Unzählige Experimente (die Stern-Gerlach-Experimente waren die ersten) bestätigten diese Forderung.

Das Postulat von oben ist dadurch motiviert, dass es diese Anforderung erfüllt:

Wenn Sie messen$A$auf den Staat

In der Physik ist es nicht wirklich sinnvoll zu fragen, warum die Natur so ist, wie sie ist. Wenn Ihre Frage im Wesentlichen lautet, warum das numerische Ergebnis einer Messung ein Eigenwert (oder genauer gesagt, wie Slereah gesagt hat, ein Element im Spektrum) des Operators sein muss, lautet die einzig zulässige Antwort: „Weil das genau ist Vorhersagen".

Ich denke, dass das beste Beispiel, um einen Schüler zu motivieren, das Drehen ist.

Partikel, die so präpariert sind, dass ihre Spins +1/2 in einer gegebenen Labor-z-Richtung sind, haben Spins manchmal +1/2 und manchmal –1/2, wenn sie mit einem Apparat gemessen werden, der willkürlich in Bezug auf die vorbereitete Orientierung geneigt ist.

Aus den Eigenvektoren lässt sich aber der Erwartungswert des Mittelwerts einer großen Anzahl von Messungen berechnen$|S\rangle$der Matrix, die sich aus der Linearkombination der Pauli-Matrix ergibt:$\sigma_k = n_x\sigma_x + n_y\sigma_y + n_z\sigma_z$, Wo$n_i$sind die Komponenten des Einheitsvektors der neuen Orientierung.

Zumindest als dieses mathematische Verfahren entwickelt wurde, stimmte es nur zufällig mit den empirischen Daten überein. Die aus der Linearkombination resultierenden Matrizen haben immer die gleichen 2 Eingenwerte.

Vielleicht möchten Sie einen Blick auf die Ideen des Quantendarwinismus werfen . Ich bin mir nicht sicher, wie beliebt diese Gedanken sind, also entscheide selbst.

Soweit ich verstehe, wird dort versucht zu erklären, warum bestimmte Zustände gemessen werden, basierend darauf, wie "stabil" sie im Vergleich zu anderen Zuständen sind, wenn sie mit dem Messgerät und der Umgebung interagieren.