Eigenwerte, Hermitesche Operatoren und Observablen in der Quantenmechanik

Betrachten Sie einen hermiteschen Operator. So

a) in einem Raum unendlicher Dimension sind seine Eigenvektoren eine Basis.

b) in einem endlichdimensionalen Raum ist die Matrix, die den hermiteschen Operator darstellt, immer diagonalisierbar.

c) 2 Eigenvektoren, die unterschiedlichen Eigenwerten entsprechen, sind kollinear.

d) in einem endlichen N-dimensionalen Raum gibt es N linear abhängige Eigenvektoren

Ich muss begründen, was wahr ist und warum es wahr ist und warum die anderen falsch sind. Mein Lehrer sagte, die wahre Antwort sei b).

Ich habe in der Quantenmechanik gelernt, dass ein hermitescher Operator immer reelle Eigenwerte hat. Der Operator ist diagonalisierbar und die Werte der Diagonalen sind ihre Eigenwerte.

Eine Observable ist ein hermitescher Operator, dessen Eigenvektoren eine Orthonormalbasis für den Raum E bilden, auch wenn dieser unendlich dimensioniert ist.

Meiner Meinung nach sind sowohl a) als auch b) richtig. Ich verstehe nicht, warum a) falsch ist.

Was wäre die Antwort, wenn wir in der Aussage statt eines hermiteschen Operators eine Observable betrachten?

Bei unendlich vielen Basisvektoren ist ein gegebener Vektor eine Linearkombination aus unendlich vielen Basisvektoren. Ich bin mir nicht sicher, ob das wohldefiniert ist, siehe zB hier en.wikipedia.org/wiki/Basis_(linear_algebra)#Definition

Antworten (1)

Zunächst einmal haben Sie Recht, dass b) richtig und c) falsch ist.

d) ist ein bisschen seltsam - wenn v → ein Eigenvektor ist, dann auch 2 v → , 3 v → , ..., N v → - Jene sind N linear abhängige Eigenvektoren. Die Absicht des Fragestellers ist jedoch offensichtlich, dass Sie erkennen, dass die "richtige" Aussage "es gibt N linear in abhängigen Eigenvektoren".

Das Problem mit a) ist, dass Operatoren in unendlich dimensionalen Räumen etwas seltsam sein können und es manchmal keine gute Idee ist, sie als Matrizen zu betrachten. Das vielleicht einfachste Gegenbeispiel zu a) ist der Positionsoperator (on L 2 ( R ) )

( X ^ ψ ) ( X ) = X ψ ( X ) .
X ^ ist hermitesch (mit dem richtigen Definitionsbereich), hat aber keine Eigenvektoren: X ψ λ ( X ) = λ ψ λ ( X ) impliziert, dass ψ λ ( X ) = 0 wann immer X ≠ λ , So ψ λ ( X ) = 0 fast überall.

In Physik-Vorlesungen arbeiten Sie mit „verallgemeinerten Eigenwerten“ λ ∈ R die "verallgemeinerten Eigenfunktionen" entsprechen ψ λ ( X ) = δ ( X − λ ) , aber beachte das ψ λ liegt nicht im Hilbertraum L 2 ( R ) . Mathematiker werden Ihnen sagen, dass das Spektrum von X ^ ist nicht diskret, sondern stetig. Auf jeden Fall ist die Behauptung, dass "die Eigenvektoren eine Basis des Hilbert-Raums sind", falsch.

Durch eine geeignete Erweiterung des "hermiteschen" Begriffs auf manipulierte Hilbert-Räume kann man zeigen, dass der Spektralsatz von Gelfand-Kostyuchenko-Maurin eine Bestätigung liefert von: "Consider a hermitian operator. So // a) in a space of infinite dimension seine Eigenvektoren sind eine Basis." PS: Nirgendwo im Problem oder im vom Benutzer geschriebenen Text hat sie/er "Hilbert-Raum" erwähnt, also warum es erwähnen? ;)
Man könnte argumentieren, dass „hermitesch“ (was hier eigentlich gemeint ist wohl „selbstadjungiert“) bereits impliziert, dass es sich um Hilbert-Räume handelt.
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