Auffinden von Messungen in nicht-hermiteschen Operatoren

Viele Texte sagen, dass eine Observable durch einen hermiteschen Operator dargestellt werden sollte. Das ist ausreichend , aber nicht notwendig . Allgemeiner gesagt können wir jeden Operator verwenden, der als lineare Kombination von sich gegenseitig vertauschenden Projektionsoperatoren ausgedrückt werden kann. Ein solcher Operator wird als normaler Operator bezeichnet . Ein normaler Betreiber$N$ist am einfachsten dadurch gekennzeichnet, dass es mit seinem eigenen Adjungierten pendelt:$N^*N = NN^*$. Beispiele für normale Operatoren sind hermitesche Operatoren, individuelle Projektionsoperatoren und unitäre Operatoren.

Hier ist ein Beispiel, um diese Idee zu veranschaulichen. Wenn$P_1,P_2,...$zueinander orthogonale Projektionsoperatoren sind, dann der Operator

$$A = a_1 P_1 + a_2 P_2 + \cdots$$ ist ein normaler Operator für eine beliebige Auswahl von (möglicherweise komplexen) Koeffizienten$a_k$. Die Eigenvektoren dieses Operators sind aufgrund der Projektionsoperatoren zueinander orthogonal$P_k$Sind. Wenn die Koeffizienten reell sind, dann$A$ist selbstadjungiert (hermitesch). Aber was in der Quantentheorie wirklich zählt, sind die Projektionsoperatoren$P_k$. Diese bestimmen die verschiedenen möglichen Ergebnisse der Messung und die relativen Häufigkeiten dieser Ergebnisse. Die Koeffizienten$a_k$sind nur praktische Bezeichnungen für die Ergebnisse, die es ermöglichen, Statistiken wie Mittelwerte und Standardabweichungen zu definieren.

Es reicht aus , nur selbstadjungierte Operatoren zu verwenden , da das Zulassen komplexer Koeffizienten nur eine allgemeinere Art der Kennzeichnung der verschiedenen impliziten Projektionsoperatoren ermöglicht. Der Natur ist es egal, wie wir Dinge bezeichnen.

Im ersten Absatz sagte ich "gegenseitig kommutierende Projektionsoperatoren", was allgemeiner ist als "gegenseitig orthogonale Projektionsoperatoren". Letzteres impliziert Ersteres, aber nicht umgekehrt. Ersteres wird benötigt, um Observablen wie den Ortsoperator in die nichtrelativistische Quantenmechanik einzubeziehen, die keine (normalisierbaren) Eigenvektoren hat. Es definiert jedoch immer noch implizit Projektionsoperatoren wie

$$P\psi(x)=\begin{cases} \psi(x)&\text{ if }x\in R\\ 0 &\text{otherwise}, \end{cases}$$ Wo$R$ist eine Region des Weltraums. Wir können uns den üblichen Positionsoperator vorstellen$X$als bequeme Einzeloperator-Darstellung dieser ganzen Algebra gegenseitig kommutierender Projektionsoperatoren. Es sind die Projektionsoperatoren, die wir in den Messpostulaten verwenden. Die Tatsache, dass jeder normale Operator implizit einen solchen Satz von gegenseitig kommutierenden Projektionsoperatoren definiert, ist Gegenstand des Spektralzerlegungssatzes .

Angesichts aller beobachtbaren$A$, Wenn$P$einer der Projektionsoperatoren ist, die es implizit definiert (durch das Spektralzerlegungstheorem), dann eine Messung von$A$führt zu einem Zustand$|\psi'\rangle$das befriedigt auch nicht$P|\psi'\rangle = |\psi'\rangle$oder$(1-P)|\psi'\rangle=|\psi'\rangle$. (Ich versuche hier nicht, eine bestimmte Interpretation der Quantentheorie zu vertreten; ich versuche nur, mich kurz zu fassen.) In Bezug auf den Zustand$|\psi\rangle$vor der Messung sind die relativen Häufigkeiten dieser beiden möglichen Ergebnisse$\psi(P)$Und$\psi(1-P)$, bzw. unter Verwendung der Abkürzung

$$\psi(\cdots)\equiv\frac{\langle\psi|\cdots|\psi\rangle}{\langle\psi|\psi\rangle}.$$ Der Punkt hier ist, dass wir uns keine Sorgen machen müssen, wenn$A$hat keinen vollständigen Satz von (normalisierbaren) Eigenzuständen. So lange wie$A$ein normaler Operator ist, können wir dennoch die entsprechenden Projektionsoperatoren verwenden, um nützliche Vorhersagen zu treffen, da jeder der Projektionsoperatoren (normalisierbare) Eigenvektoren hat. Solange sie alle miteinander kommutieren, können wir uns diesen ganzen Satz von Projektionsoperatoren als einen Haufen miteinander kompatibler Observablen vorstellen, von denen jeder nur zwei mögliche Ergebnisse hat.