Warum verwenden wir im QM hermitesche Operatoren?

Ein Problem mit dem Gegebenen$3\times 3$Matrixbeispiel ist, dass die Eigenräume nicht orthogonal sind.

Daher macht es keinen Sinn zu sagen, dass man mit 100%iger Sicherheit gemessen hat, dass sich das System in einem Eigenraum befindet, aber nicht in den anderen, da es möglicherweise eine Überlappung ungleich Null mit einem anderen Eigenraum gibt.

Kann man beweisen$^{1}$dass ein Operator genau dann hermitesch ist, wenn er auf orthonormaler Basis mit reellen Eigenwerten diagonalisierbar ist. Siehe auch diesen Phys.SE-Beitrag.

$^{1}$Wir werden Feinheiten mit unbegrenzten Operatoren , Domänen, selbstadjungierten Erweiterungen usw. in dieser Antwort ignorieren.

Wenn Sie etwas anderes sehen möchten, gibt es tatsächlich ein paar Artikel von Carl Bender, die Quantenmechanik entwickeln, die mit paritätszeitsymmetrischen Operatoren formuliert ist. Er zeigt, dass einige Hamiltonoperatoren nicht hermitesch sind, aber echte Eigenwerte haben und gültige physikalische Systeme darzustellen scheinen. Wenn Sie darüber nachdenken, ist die Anforderung, dass Ihr Operator paritätszeitsymmetrisch ist, physikalisch sinnvoller als Hermitizität. In einem späteren Artikel wurde nachgewiesen, dass sein quantenmechanischer Ansatz dem Standardansatz entspricht, bei dem Operatoren hermitesch sind.

Wenn Sie interessiert sind, können Sie http://arxiv.org/abs/quant-ph/0501052 lesen

Um eine Antwort zu geben, die etwas allgemeiner ist als Ihre Frage, fallen mir drei Gründe für hermitische Operatoren in der Quantentheorie ein:

1. Die Quantentheorie stützt sich auf einheitliche Transformationen für Symmetrien, Basisänderungen oder Zeitentwicklung. Einheitliche Transformationen werden durch hermitesche Operatoren wie in erzeugt$U=\exp(\mathrm iHt)$. Und unitäre Lie-Gruppendarstellungen gehen mit einer Lie-Algebra hermitescher Operatoren einher.

2. Messergebnisse werden aus einem Satz von orthogonalen Zuständen mit realen Messwerten genommen. Diese Struktur wird effizient durch einen hermiteschen Operator dargestellt, der eine Eigenstruktur hat, die genau diesen Anforderungen entspricht.

3. Zustandsdarstellungen von Subsystemen und Ensembles führen zu hermiteschen Operatoren. Bei Ensembles ist dies aus der Konstruktion als konvexe Summe von Projektoren ersichtlich, die zwangsläufig hermitesch sind. Für Subsystemzustände kommt es aus dem Verfolgen eines Projektors über Tensorfaktorräumen. Dies hängt mit Punkt 2) zusammen, da Prozesse wie Dekohärenz Messergebnisse mit Dichteoperatoren verbinden.

Der Punkt der Eigenzustände und der gesamten linearen Algebra der Quantenmechanik sind die Projektionen$\langle\phi|\psi\rangle$des Staates$|\psi\rangle$auf jeden Eigenzustand$|\phi\rangle$die Wahrscheinlichkeitsamplituden jedes Eigenzustands darstellen. Insbesondere bedeutet dies:

Wobei die Summation über alle Eigenzustände eines Operators erfolgt. Denn dies muss für alle Staaten gelten$|\psi\rangle$, das Ding auf der linken Seite muss eine pythagoranische Summe sein, also die$|\phi\rangle$s müssen eine orthogonale Basis bilden. Alternativ kann man einfach anmerken, dass wir haben müssen$\langle \phi_1|\phi_2\rangle=0$wenn die entsprechenden Eigenwerte verschieden sind, da sich zwei verschiedene Beobachtungen gegenseitig ausschließen müssen.

Das zeigt, dass die Matrizen normal sein müssen. Dass sie als hermitianisch gewählt werden, ist nicht wesentlich, aber nützlich, wie bereits diskutiert wurde.