Sind Eigenvektoren immer orthogonal zueinander?

Wenn ein beobachtbarer/selbstadjungierter Operator A ^ nur diskrete Eigenwerte hat, sind die Eigenvektoren orthogonal zueinander. Ebenso, wenn ein Observable A ^ nur stetige Eigenwerte hat, sind die Eigenvektoren orthogonal zueinander.

Aber was wenn A ^ sowohl diskrete als auch stetige Eigenwerte hat?

KONTEXT:

Laut meinem Lehrer ein Observable A ^ können gleichzeitig diskrete und stetige Eigenwerte haben.

A ^ | N ⟩ = a N | N ⟩

A ^ | ξ ⟩ = ξ | ξ ⟩

Vollständigkeit ist dies.

∑ N | N ⟩ ⟨ N | + ∫ D ξ | ξ ⟩ ⟨ ξ | = 1 ^

Nun gilt Folgendes.

⟨ N | M ⟩ = δ N M

⟨ ξ | ξ ' ⟩ = δ ( ξ − ξ ' )

FRAGE:

Sind | N ⟩ Und | ξ ⟩ orthogonal zueinander? Ich meine, ist die folgende Gleichung wahr?

⟨ N | ξ ⟩ = 0

Ich möchte, dass dies wahr ist. Damit muss ich die Erwartungswertformel beweisen

E [ A ] = ⟨ ψ | A ^ | ψ ⟩ ⟨ ψ | P S ich ⟩ .

Der Fall kontinuierlicher Eigenwerte beinhaltet bereits den Fall sowohl diskreter als auch kontinuierlicher Eigenwerte.
Eine Nebenbemerkung zu dieser Diskussion ist, dass die Wahl der Eigenvektoren aus einem entarteten Unterraum frei ist. Sie können auf beide Arten gewählt werden, obwohl der praktische Vorteil darin liegt, sie orthogonal zu wählen.
@Mastrok Danke für deinen Kommentar. Es scheint sicherlich wahr zu sein, wenn ich darüber nachdenke.
@dmckee Vielen Dank für Ihren Kommentar. Es scheint mir ein bisschen schwierig zu sein, aber es würde mir zum weiteren Verständnis helfen :)
Angenommen, Sie haben genau zwei Eigenvektoren | A ich ⟩ Und | A J ⟩ mit gleichem Eigenwert A . Dann | A k ⟩ = ( | A ich ⟩ + | A J ⟩ ) / 2 ist ein weiterer Vektor mit Eigenwert A (Überprüfen Sie mich darauf). Nun, irgendwelche zwei von | A ich ⟩ , | A J ⟩ , Und | A k ⟩ (oder tatsächlich jede andere lineare Kombination von | A ich ⟩ Und | A J ⟩ ) bilden eine aufspannende Menge für den Unterraum, der die drei Vektoren enthält, und können als Basis für diesen Unterraum ausgewählt werden. Aber es ist kein Gewinn, eine Menge zu wählen, die nicht orthogonal ist.
Übrigens. <Verwenden Sie und nicht >für Klammern. Verwenden Sie stattdessen \langleund . \rangleSie breiten sich weiter aus und haben den richtigen Abstand (die ersteren sind Vergleichsoperatoren und werden mit zusätzlichem Abstand um sie herum gesetzt).
@dmckee Danke. Jetzt verstehe ich die Freiheit bei der Wahl der Eigenvektoren besser. Und danke auch, dass Sie mir die richtigen Markdown-Befehle mitgeteilt haben. Ich werde mir das merken.

Antworten (1)

Sie müssen den Begriff diskret/kontinuierlich formalisieren. Wenn wir davon ausgehen, dass dies eine wohldefinierte Eigenschaft des Systems ist, dann muss es eine Observable geben D das hat die gleichen Eigenzustände wie A mit Eigenwerten 0 für diskrete Eigenzustände und 1 für stetige Eigenzustände. Sie können dann beweisen, dass es sich um einen diskreten Eigenzustand handelt | N ⟩ und einem stetigen Eigenzustand | ξ ⟩ sind orthogonal, wenn N = ξ (andernfalls würden wir bei unterschiedlichen Eigenwerten bereits wissen, dass sie orthogonal sein müssen), indem wir die Eigenwerte von verwenden D dieser Staaten sind unterschiedlich.

Vielen Dank für Ihre Antwort. Ist "sind orthogonal, wenn n = ξ" ein Tippfehler? Ich dachte, es wäre "orthogonal, wenn n ≠ ξ".
@ynn Wenn die beiden Eigenvektoren unterschiedlich sind, ist es trivial, dass sie orthogonal sind. Dies folgt aus der Berechnung ⟨ ξ | A | N ⟩ indem man A wirken auf den Ket und den Bra, die das gleiche Ergebnis liefern müssen, aber wenn die Eigenwerte unterschiedlich sind, können sie nur gleich sein, wenn das Skalarprodukt zwischen den beiden Zuständen Null ist. Was also noch zu tun bleibt, ist der Fall, wenn die beiden Eigenwerte gleich sind. Aber in diesem Fall verwenden Sie das gleiche Argument, aber jetzt mit A ersetzt durch D da die beiden Zustände dann unterschiedliche Eigenwerte für diesen Operator haben.
Danke schön. Jetzt verstehe ich, was du sagen wolltest. Und ich habe bekommen, was ich wollte.
Sind Eigenvektoren immer orthogonal zueinander?
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 11v