Müssen Observablen nur hermitesch sein, weil wir reelle Eigenwerte wollen, oder ist es mehr?

Auf der einfachsten Ebene liegt es daran, dass hermitische oder genauer selbstadjungierte Operatoren einen vollständigen Satz von Eigenzuständen haben. Das Vorhandensein eines vollständigen Satzes ist für die Wahrscheinlichkeitsinterpretation von QM wesentlich. Dass die Eigenwerte reell sind, ist von untergeordneter Bedeutung. Betrachten wir zum Beispiel die Operatoren$X,Y$des$x$Und$y$Koordinaten eines Teilchens. Man könnte aus irgendeinem Grund die Kombination wünschen$x+iy=z$, die die Eigenwerte von sind$X+iY$.

Damit Betreiber wie z$X+iY$um beobachtbar zu sein, kann man die selbstadjungierte Bedingung lockern, um normale Operatoren zuzulassen , die als solche definiert sind, die mit ihrem Adjungierten pendeln:$[A,A^\dagger]=0$. In diesem Fall können wir zerlegen

In der Standardformulierung der Quantentheorie sind Observablen selbstadjungierte Operatoren , wenn sie sich auf physikalische Größen beziehen, deren Werte durch reelle Zahlen beschrieben werden . (Eine einfache Verallgemeinerung, wenn man Observablen zulässt, die komplexe Werte erreichen, besteht darin, sie durch normale Operatoren darzustellen, und dies hat keinen Einfluss auf die folgende Diskussion.)

Für diese Annahme gibt es viele Gründe. Eine, die auf von Neumann zurückgeführt werden kann, stützt sich auf die Grundformulierung in Form von elementaren JA-NEIN-Sätzen , die in Form von orthogonalen Projektoren beschrieben und durch Teilmengen (Borel-Mengen) gekennzeichnet sind.$E$von$\mathbb{R}$:$P(E)$.

$P(E)$entspricht der Proposition/elementaren Observablen

„Das Ergebnis der Messung der betrachteten Observable gehört zur realen Teilmenge$E$".

Wenn$\rho$Zustand des Systems,$tr(\rho P(E))$ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Ergebnis der Observable gehört$E$.

Diese Familien von Projektoren sind projektionsbewertete Maße , PVM und ihre Integrale

Dieser Ansatz findet sich in von Neumanns Lehrbuch, in Varadarajans Lehrbuch und in anderen Büchern über die Grundlagen der Quantentheorie (einschließlich eines meiner).

In jüngerer Zeit wurde eine ausführlichere Sichtweise in Bezug auf Quantenoperationen präsentiert. Ein Grund dieser Untersuchung ist der Versuch, eine realistische Vorstellung vom Zustand nach der Messung zu definieren $\rho'$. Die Standardbegriffe basieren auf den Postulaten von Neumann, Luders und von Neumann-Luders

Innerhalb dieses neuen Ansatzes werden die elementaren JA-NEIN-Observablen durch sogenannte POVMs ersetzt: Maße, die in Bezug auf positive Operatoren bewertet werden$\{Q(E)\}_{E\in B(\mathbb{R})}$mit$0\leq Q(E) \leq I$.

Die physikalische Genese dieses Begriffs ist etwas umständlich und basiert auf einem indirekten Messverfahren , das das gemessene System nicht zerstört. Tatsächlich misst man mit einem Standardverfahren ein zweites System S' (wobei es zerstört wird), das eine bestimmte (bekannte) Wechselwirkung mit dem ursprünglichen System S hatte, das wir messen möchten. Wenn$\rho$ist der (meist gemischte) Zustand$S$,$tr(\rho Q(E))$ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Ergebnis der Observable gehört$E$. Die Nettowirkung auf S wird wie gesagt mit einer POVM statt einer PVM beschrieben. Der Vorteil dieses Verfahrens besteht darin, dass es erlaubt, auch den Zustand nach der Messung des Systems S zu kontrollieren.

Eine kurze Darstellung dieser Ideen findet sich in einem netten Aufsatz von P. Busch [1].

Um auf das Hauptproblem zurückzukommen, auch wenn es sich um POVMs handelt, tauchen hermitische Operatoren in jedem Fall als Folge der bemerkenswerten Ergebnisse von Naimark auf.

Wenn$\{Q(E)\}_{E \in B(\mathbb{R})}$ist eine (normalisierte) POVM über der realen Leitung$\mathbb{R}$, gibt es einen hermiteschen Operator $A$damit verbunden, das einzigartige Befriedigende

Diese Ergebnisse sind in der Literatur verstreut zu finden. Eine gute (aber sehr breite) Referenz ist das schöne Buch von Busch und Mitarbeitern [2]. Eine Zusammenfassung des Zusammenspiels von POVMs und hermiteschen Operatoren findet sich in einer neueren Veröffentlichung von mir und N. Drago [3].

TECHNISCHER HINWEIS Wenn$A: D(A) \to H$ist ein linearer Operator im Hilbertraum$H$,$D(A) \subset H$ein Unterraum sein,

(ich)$A$ist hermitesch , wenn$\langle x| Ay\rangle = \langle Ax| y\rangle$für jeden$x,y \in D(A)$;

(ii)$A$ist symmetrisch, wenn sie hermitesch ist und$D(A)$ist dicht.

(iii)$A$ist selbstadjungiert, wenn sie symmetrisch und stärker ist$A=A^\dagger$, Wo$A^\dagger : D(A^\dagger) \to H$ist der adjungierte Operator.

[1] P. Busch, No Information Without Disturbance: Quantum Limitations of Measurement in Quantum Reality, Relativistic Causality, and Closing the Epistemic Circle: An International Conference in Honor of Abner Shimony, Perimeter Institute, Waterloo, Ontario, Kanada, Juli 18-21, 2006, Hrsg. J. Christian, W. Myrvold, Springer-Verlag, 2008, ISSN: 978-1-4020-9106

[2] P. Busch, P. Lahiti, J.-P. Pellonpää, K. Ylinen, Quantum Measurement. Springer (2016)

[3] N. Drago und V. Moretti, Der Begriff der Observablen und das Momentenproblem für ∗-Algebren und ihre GNS-Darstellungen. Lette. Mathematik. Physik, 110(7), 1711-1758 (2020)

Die Verwendung reeller Zahlen zur Beschriftung von Messergebnissen ist praktisch, da wir diese Beschriftungen verwenden können, um zusammenfassende Statistiken wie Mittelwerte und Standardabweichungen zu definieren. Aber die Verwendung reeller Zahlen zur Kennzeichnung von Messergebnissen ist nicht notwendig , weder in der realen Welt noch in der Quantentheorie. Es mag in der Praxis überwältigend bequem sein, aber es ist im Prinzip nicht notwendig.

Observables mit doppeltem Zweck

Einige der Operatoren, die Observablen darstellen, wie die Drehimpulsoperatoren, dienen einem doppelten Zweck. Die Drehimpulsoperatoren stellen nicht nur etwas dar, das gemessen werden könnte, sondern sind auch die Erzeuger von Rotationen – weshalb sie als Observable interessant sind. Für ihre Rolle als Erzeuger von Rotationen sind sowohl ihre Selbstadjungiertheit als auch ihr Spektrum wesentlich, daher ist es natürlich, diese Operatoren so zu verwenden, wie sie sind, um das Beobachtbare auch darzustellen.

Ein weiteres wichtiges Beispiel für eine Observable mit doppeltem Verwendungszweck ist die Gesamtenergie-Observable, die als Hamilton-Operator bezeichnet wird$H$. Der Hamiltonoperator erzeugt Zeitübersetzungen und muss zu diesem Zweck selbstadjungiert sein, da die Zeitentwicklung einheitlich sein muss.

Observablen wie Gesamtenergie und Gesamtdrehimpuls sind in Lehrbüchern wegen ihrer doppelten Rolle als Erzeuger von Symmetrien prominent, aber die meisten Observablen von praktischem Interesse sind lokale Observablen – ein Konzept, das in allzu einfachen Modellen wie der nichtrelativistischen Einteilchen-Quantenmechanik verloren geht. Lokale Observablen bleiben auch in Modellen ohne Symmetrien wichtig, da sie Dinge darstellen, die in endlichen Bereichen von Raum (Zeit) gemessen werden können. Dies sind die Beobachtungsgrößen, die ich in den folgenden Abschnitten hauptsächlich im Sinn habe.

Die Doppelkommutantendarstellung

Im Prinzip kann eine Observable durch die Menge möglicher Messergebnisse ohne jegliche numerische Bezeichnung dargestellt werden. Gemäß den grundlegendsten Prinzipien der Quantentheorie wird jedes dieser Ergebnisse durch einen Projektionsoperator dargestellt. (Verallgemeinerungen wie die Verwendung von POVMs können bequem sein, aber wir können immer dasselbe Ziel erreichen, indem wir gewöhnliche Projektionsoperatoren in einem umfassenderen Modell verwenden.) Die einfachste Art, eine Observable darzustellen, besteht darin, eine Reihe von Projektionsoperatoren zusammen zu verwenden, die sich gegenseitig austauschen mit allen Projektionsoperatoren, die sich daraus mit Summen und Produkten und Grenzwerten bilden lassen. Die Projektionsoperatoren sind alles, was wir brauchen, um Wahrscheinlichkeiten zu berechnen und die Projektionsregel anzuwenden. (Mit der Hochrechnungsregel werden Wahrscheinlichkeiten für zeitliche Abfolgen von Messergebnissen berechnet,Anfangszustand basierend auf unserem Wissen darüber, wie das physikalische System vorbereitet wurde.)

Genauer gesagt können wir eine einzelne Observable als Menge aller Projektionsoperatoren in einer kommutativen von Neumann-Algebra darstellen. Das mag einschüchternd klingen, aber es ist eigentlich ziemlich einfach, es algebraisch zu definieren, dank etwas, das als Doppelkommutantensatz bezeichnet wird . Lassen$\Omega$sei eine beliebige Ansammlung von wechselseitig kommutierenden Operatoren zusammen mit ihren Adjungierten. Der Kommutant von$\Omega$, bezeichnet$\Omega'$, ist die Menge aller Operatoren, die mit allem in pendeln$\Omega$. Deutlich$\Omega\subset\Omega'$. Der Doppelkommutant von$\Omega$, bezeichnet$\Omega''$, ist die Menge aller Operatoren, die mit allem in pendeln$\Omega'$. Der Doppelkommutant$\Omega''$ist die kleinste von Neuman-Algebra (in sich geschlossen in Bezug auf Summen, Produkte und Grenzwerte), die alles enthält$\Omega$. Wir können die Menge aller Projektionsoperatoren in verwenden$\Omega''$ein Observable darstellen.

Betrachten Sie den Fall$\Omega=\{A\}$, Wo$A$ist eine einzelne selbstadjungierte Observable. Die Projektionsoperatoren in$\{A\}''$umfassen alle Projektionsoperatoren, die an dem projektionsbewerteten Maß (PVM) beteiligt sind, das mit der spektralen Zerlegung von verbunden ist$A$. Wenn das Spektrum von$A$ist dann diskret$\{A\}''$schließt alle Projektionsoperatoren auf seine Eigenräume ein. Die Menge der Projektionsoperatoren in$\{A\}''$ist die philosophisch "reine" Art, das Beobachtbare darzustellen$A$. Wir haben vielleicht$\{A\}'' = \{B\}''$selbst wenn$A\neq B$, was bedeutet, dass die Operatoren$A$Und$B$stellen wirklich dasselbe Observable dar , aber mit unterschiedlichen numerischen Labels, weil$\{A\}''$Und$\{B\}''$beide haben die gleichen Projektionsoperatoren – beide haben die gleichen möglichen Messergebnisse, obwohl die Operatoren$A$Und$B$Verwenden Sie unterschiedliche Arten, diese Ergebnisse zu kennzeichnen.

Da in der Frage die Idee komplexer Eigenwerte erwähnt wurde, betrachten Sie die Observable$\{H\}''$, Wo$H$ist der Hamiltonoperator. Der Hamilton-Operator ist typischerweise ein unbeschränkter Operator, was bedeutet, dass er nicht ganz auf dem gesamten Hilbert-Raum definiert ist. Das ist in Ordnung, denn die Operatoren, die Zeitübersetzungen implementieren, sind die unitären Operatoren$e^{-iHt}$, die zwar auf dem gesamten Hilbertraum definiert sind$H$ist nicht. Ihre "Eigenwerte" (Werte des Spektrums) sind komplex, aber wir haben die Identität

Komfort ist auch wichtig

Der Natur ist es egal, wie wir die Ergebnisse einer Messung kennzeichnen, aber die Bequemlichkeit ist immer noch ein wichtiger Aspekt. In der Praxis stellt man eine Observable als einen einzelnen Operator dar$H$ist in der Regel bequemer als die Verwendung des gesamten Satzes von Operatoren$\{H\}''$oder$\{e^{-iHt}|t\in\mathbb{R}\}$. Die reellwertigen numerischen Bezeichnungen sind unter anderem auch aus den oben genannten Gründen praktisch. Wir sollten Lehrbüchern also nicht zu kritisch gegenüberstehen, wenn sie die Darstellung eines einzigen hermiteschen Operators zum Postulat erheben. Diese Darstellung ist sowohl ausreichend als auch zweckmäßig. Aber zu wissen, dass es nicht nötig ist, ist grundsätzlich befriedigend, auch wenn wir diese Freiheit in der Praxis nie ausnutzen.

Ich möchte zuallererst eine semantische Zirkularität vermeiden, weil manche Literatur "beobachtbar" als hermiteschen Operator oder selbstadjonierenden Operator oder ähnliche mathematische Objekte definiert.

Lassen Sie mich stattdessen zwei Fragen aus eher praktischer oder experimenteller Sicht stellen:

• Müssen die Ergebnisse – Werte und Statistiken – einer Messung an einem Quantensystem durch einen hermiteschen Operator beschrieben werden?
• Kann eine Messung, deren Ergebnisse komplexe Zahlen oder Vektoren oder Bezeichnungen wie „ja“, „nein“ sind, durch einen hermiteschen Operator beschrieben werden?

Die Antwort auf beide ist nein: Im allgemeinsten Fall verwenden wir etwas, das als "Maß mit positivem Operatorwert" bezeichnet wird, von dem hermitesche Operatoren Sonderfälle sind.

Die moderne Theorie der Quantenmessung ist viel allgemeiner als die auf hermiteschen Operatoren basierende. Eine Messung wird im Allgemeinen nicht durch einen hermiteschen Operator dargestellt, sondern durch ein sogenanntes Positiv-Operator-bewertetes Maß (POVM oder POV), das auch als "Identitätsauflösung" (und mehrere andere Namen) bezeichnet wird. Mathematisch gesehen handelt es sich um eine Menge positiv-definiter Operatoren, die sich zum Identitätsoperator summieren.

POVMs ermöglichen allgemeinere Situationen wie diese:

• Messungen, die durch Geräterauschen oder experimentelle Unvollkommenheiten beeinträchtigt sind.
• Messungen mit mehr Ergebnissen als die Dimension des Hilbert-Raums (endlich dimensionaler Fall).
• Messungen mit beliebigen Ergebnissen. Also nicht nur reelle Zahlen, sondern beispielsweise auch komplexe Zahlen oder Zahlentupel oder Elemente eines Vektorraums oder kategoriale Ergebnisse, die nicht durch Zahlen repräsentiert werden: "up" und "down", "blue" "red" " grün" oder was auch immer.

Ich denke, die letzte Verallgemeinerung interessiert Sie.

Ein POVM verwaltet diese Verallgemeinerungen, da es die (diskrete oder kontinuierliche) Topologie des Ergebnisraums von den spezifischen Werten (numerisch oder nicht) trennt, die wir den Ergebnissen zuordnen können. Der POVM codiert in Kombination mit dem Quantenzustand (Dichteoperator) die Wahrscheinlichkeit jedes Ergebnisses, ohne sich darum zu kümmern, was der Wert oder eine andere Bezeichnung dieses Ergebnisses ist.

Wenn die Ergebnisse numerisch sind und wir an Statistiken wie Mittelwert und Standardabweichung interessiert sind, können wir letztere einfach erhalten, indem wir die vom POVM angegebenen Wahrscheinlichkeiten mit den numerischen Werten der Ergebnisse kombinieren.

Hermitesche Operatoren sind ein Sonderfall von POVM: Sie kombinieren die Operatoren, die die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse liefern (in diesem Fall die Eigenprojektoren), mit den Werten der Ergebnisse in dem speziellen Fall, in dem diese Werte reelle Zahlen sind (die Eigenwerte).

Mathematisch kann die Theorie der POVMs immer noch auf hermiteschen Operatoren basieren, indem ein Hilfssystem verwendet wird. Ich persönlich sehe dies als eine rein mathematische Möglichkeit ohne zwingende physikalische Grundlage. Am Ende muss ich immer etwas als "Black Box" auswählen, in Bezug auf das wir den Rest definieren, und ich ziehe es vor, die POVM-Mathematik als Ausgangspunkt zu verwenden.

Lassen Sie mich hinzufügen, dass wir hier nur über die Wahrscheinlichkeiten und Statistiken der Ergebnisse einer Messung sprechen, nicht über den Zustand (falls vorhanden), der nach der Messung produziert wird. Heute haben wir auch eine allgemeinere Sicht darauf, was mit POVMs zusammenhängt. Siehe die Texte unten zu diesem Thema.

Gute Texte zum Nachschlagen über POVMs, ihre Motivation, experimentelle Anwendungen (von denen es viele gibt), Sonderfälle usw. sind zum Beispiel:

• Bengtsson, Zyczkowski: Geometrie von Quantenzuständen: Eine Einführung in die Quantenverschränkung , §10.1.
• Peres: Quantentheorie: Konzepte und Methoden , p. 282.
• de Muynck: Grundlagen der Quantenmechanik, ein empirischer Ansatz , §3.3.
• Holevo: Probabilistische und statistische Aspekte der Quantentheorie , Kap. 1.

Die anderen Antworten liegen etwas über meiner Gehaltsstufe, aber ich habe immer diese Geschichte gehört:

Eine körperliche Verwandlung$U : \mathcal{H} \to \mathcal{H}$des Hilbertschen Zustandsraums$\mathcal{H}$muss einheitlich sein, damit die Normalisierung der Zustände erhalten bleibt. Nehmen wir außerdem an, dass diese Transformation glatt von Parametern abhängt$x_\alpha$mit$U(0) = 1$. Dann

Es kann überzeugender sein, das Argument in umgekehrter Richtung zu führen. In der klassischen Theorie erzeugt jede Observable (Funktion im Phasenraum) lokal einen physikalischen Fluss von Zuständen. Angenommen, wir wollen, dass dies in der Quantentheorie wahr ist. Die einzigen Kandidaten für Observablen sind lineare Funktionen im Hilbert-Raum (ich bin mir nicht sicher, warum sie linear sein müssen). Wenn wir wollen, dass diese Observablen einen physikalischen Fluss von Zuständen erzeugen, müssen sie (bis zur Multiplikation mit$i$) Hermitesch. Wenn die Observablen nicht hermitesch sind, bewahrt der von ihnen erzeugte Fluss die Normalisierung von Zuständen nicht.

Bei einem trennbaren Hilbert-Raum, der einem Quantensystem zugrunde liegt, sind die Observablen auf diesem System die selbstadjungierten Operatoren auf dem Hilbert-Raum. Der Grund, warum sie selbstadjungiert sein müssen, ist, dass das Spektrum eines Operators genau dann reell ist, wenn der Operator selbstadjungiert ist. Das Spektrum eines Operators ist die Menge möglicher Messwerte, die Sie in einem Experiment messen können. Die Eigenwerte eines Operators sind eine Teilmenge seines Spektrums.