Beobachtbarer Operator auf einer Superposition?

Ket-Vektoren, die aus Überlagerungen bestehen, haben jedoch mehrere mögliche Eigenwerte. Was mich zu der Annahme veranlasst, dass diese Gleichung nur für Eigenkets gilt, die Basiszustände sind.

Die gleichung

$$\begin{align} \hat A|\Psi\rangle = a|\Psi\rangle \end{align}$$ gilt nur für Eigenvektoren des Operators $\hat A$. Im Allgemeinen gibt es einen mathematischen Satz, den Spektralsatz, der dies für jeden hermitischen (selbstadjungierten) Operator besagt $\hat A$auf einem Hilbert-Raum wirken $\mathcal H$, gibt es eine Basis des Hilbert-Raums, die aus Eigenvektoren von besteht $\hat A$. Dies sagt uns, dass jeder Vektor $|\psi\rangle$im Hilbert-Raum kann als Linearkombination von Eigenvektoren einer beliebigen gegebenen Observablen geschrieben werden. Nehmen wir zum Beispiel an, dass die Basis der Eigenvektoren beobachtbar ist $\hat A$ist mit bezeichnet $\{|a_1\rangle, |a_2\rangle, \dots\}$wo der Vektor $|a_i\rangle$Eigenwert hat $a_i$. Dann für jeden Staat $|\psi\rangle$im Hilbertraum können wir schreiben $$\begin{align} |\psi\rangle = \sum_i c_i|a_i\rangle \end{align}$$

Wird irgendwie angenommen, dass jeder Basiszustand in der Positionsbasis einem einzigen Energieeigenzustand entspricht?

Nein. Ein Eigenzustand eines Operators ist nicht unbedingt ein Eigenzustand eines anderen Operators. Wenn jedoch zwei Operatoren kommutieren, ist es möglich, eine Basis für den Hilbert-Raum zu finden, die aus Vektoren besteht, die Eigenzustände beider Operatoren sind (wir nennen diese normalerweise "gleichzeitige Eigenzustände" der beiden Operatoren).

Gibt es eine nützliche Interpretation der Multiplikation des Eigenkets mit seinem Eigenwert, wie in der obigen beobachtbaren Gleichung angegeben?

Ich bin mir nicht sicher, wonach Sie hier genau suchen, aber eine Tatsache ist, dass if$|\Psi\rangle$die Eigenwertgleichung erfüllt, und wenn das System in diesem Zustand vorbereitet ist, dann eine Messung der Observablen$\hat A$gibt den entsprechenden Eigenwert mit Wahrscheinlichkeit zurück$1$.

Als letzte Frage gibt es eine nützliche Interpretation der Multiplikation des Eigenkets mit seinem Eigenwert, wie in der obigen beobachtbaren Gleichung angezeigt?

Dies ist die Mathematik, die die Idee beschreibt, dass$\langle \Psi \vert A \vert \Psi \rangle = \langle A \rangle$ist der Erwartungswert der zugeordneten beobachtbaren Größe$A$wenn das System im Zustand ist$\Psi$.

Verwenden der Erweiterung von @joshphysic in Bezug auf die Eigenvektoren

$$\langle \Psi \vert A \vert \Psi \rangle = \sum_{ij} c_i c_j^* a_i a_j \langle a_j \vert a_i \rangle = \sum_i \vert c_i \vert^2 a_i$$ wobei der letzte Ausdruck entsteht, weil die Eigenbasis orthonormal ist.

Der endgültige Ausdruck ist nur der gewichtete Durchschnitt des Werts des Operators.