Allgemeine Wellenfunktion und Schrödinger-Gleichung

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Allgemeine Wellenfunktion und Schrödinger-Gleichung

carllacan

Ich beginne mit der Quantenmechanik und das Buch, dem ich folge (Griffiths), führt zuerst die Wellenfunktion als die Wahrscheinlichkeitsdichte der Position eines 0-Spin-Einzelteilchens ein. Später habe ich erkannt, dass es ein größeres Bild gibt: Der Zustand eines Systems kann als Überlagerung ausgedrückt werden, die eine lineare Kombination der Vektoren einer bestimmten Basis ist (abhängig von der von uns gewählten Observablen), mit einem ( vielleicht kontinuierlich) Satz von Koeffizienten, die Wahrscheinlichkeitsamplituden der Eigenwerte sind. Wenn die gewählte Observable zufällig die Position ist, erhalten wir die Wellenfunktion.

Also frage ich mich jetzt Folgendes: Ist dies die Definition einer Wellenfunktion oder gibt es eine Wellenfunktion für jede Observable, ist diese Wellenfunktion nur eine Karte von den möglichen Werten der Observablen zu ihren Wahrscheinlichkeitsamplituden?

Wenn ja: ist die Zeitabhängigkeit dieser Wellenfunktion immer durch die Schrödinger-Gleichung eingeschränkt? Angenommen, im Fall eines zweidimensionalen Systems mit den Eigenzuständen |0> und |1> für eine bestimmte Observable mit den jeweiligen Eigenwerten 0 und 1. Wir haben den überlagerten Zustand f(0,t)|0> + f(1,t)|1>, wobei f(Zustand, Zeit) die "Wellenfunktion" ist, die jedem Eigenzustand eine Wahrscheinlichkeitsamplitude zuweist. Muss diese f-Funktion die Schrödinger-Gleichung oder andere Nebenbedingungen erfüllen?

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Allgemeine Wellenfunktion und Schrödinger-Gleichung

löwenbrits · Answer 1

Wirklich, es gibt eine Wellenfunktion, die über alle kompatiblen Observablen läuft, und ihre Zeitentwicklung wird durch die Schrödinger-Gleichung mit einem Hamilton-Operator bestimmt. Aber oft interagieren bestimmte Observables nicht viel, sodass Sie sie einfach als isoliertes System behandeln können. Sie können sich den Hamilton-Operator als eine Matrix vorstellen, die auf einen Vektorraum einwirkt, und wenn diese Matrix in gewisser Weise blockdiagonal oder ungefähr blockdiagonal ist, dann gibt es Unterräume, deren Entwicklung wir separat behandeln können, vorausgesetzt, sie sind nicht verschränkt.

Stan Liou · Answer 2

Also frage ich mich jetzt Folgendes: Ist dies die Definition einer Wellenfunktion oder gibt es eine Wellenfunktion für jede Observable, ist diese Wellenfunktion nur eine Karte von den möglichen Werten der Observablen zu ihren Wahrscheinlichkeitsamplituden?

Tatsächlich gibt es für jede Observable eine Wellenfunktion. Der Staat $|\psi\rangle$ ist ein Vektor in einem komplexen Hilbertraum. Die Wellenfunktion besteht aus ihren Komponenten entlang der Eigenzustände einer beliebigen Observablen $\hat A$ :

ψ (A) = ⟨ A | ψ ⟩,

$\psi(a) = \langle a|\psi\rangle\text{,}$ Wo

a

$a$ ist ein Eigenwert von

\hat{A}

$\hat{A}$ Und

| a ⟩

$|a\rangle$ ist der zugehörige Eigenvektor. Im Ortsraum die Eigenvektoren des Ortsoperators

\hat{x}

$\hat{x}$ wie Dirac-Deltas aussehen, also gilt dies offensichtlich für die übliche Orts-Raum-Wellenfunktion nur aus der Definition des Skalarprodukts. Wenn man sie sich jedoch als Dirac-Deltas vorstellt, wird die Tatsache verschleiert, dass der Positionsoperator an sich nichts Besonderes ist und tatsächlich jeder ausreicht, obwohl im Fall der Entartung etwas mehr Vorsicht geboten ist.

Beachte das $\psi^*(a)\psi(a) = \langle\psi|a\rangle\langle a|\psi\rangle$ , Wo $|a\rangle\langle a|$ ein Projektionsoperator auf den entsprechenden Eigenraum ist. Genau das besagt die Born-Regel.

Beispielsweise könnten wir eine Impuls-Raum-Wellenfunktion verwenden $\phi(p) = \langle p|\psi\rangle$ , nur um ein anderes Symbol zu verwenden, und es wäre mit der Orts-Raum-Wellenfunktion verwandt $\psi(x) = \langle x|\psi\rangle$ von:

\begin{array}{rcl} Φ (P, T) & = & \frac{1}{\sqrt{2 π ℏ}} \int_{- \infty}^{\infty} e^{- ich P X / ℏ} Ψ (X, T) D X \\ Ψ (X, T) & = & \frac{1}{\sqrt{2 π ℏ}} \int_{- \infty}^{\infty} e^{+ ich P X / ℏ} Φ (P, T) D P \end{array}

$\begin{eqnarray*} \Phi(p,t) &=& \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int_{-\infty}^\infty e^{-ipx/\hbar}\Psi(x,t)\,\mathrm{d}x\\ \Psi(x,t) &=& \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int_{-\infty}^\infty e^{+ipx/\hbar}\Phi(p,t)\,\mathrm{d}p \end{eqnarray*}$ dh Fourier-Transformationen; vgl. Kapitel 3 von Griffith. Ersteres kann man sich als Bilden eines Skalarprodukts mit einem Impuls-Eigenzustand in der Ortsbasis vorstellen, und letzteres als Bilden eines Skalarprodukts mit einem Orts-Eigenzustand in der Impulsbasis.

Wenn ja: ist die Zeitabhängigkeit dieser Wellenfunktion immer durch die Schrödinger-Gleichung eingeschränkt?

Die Zeitentwicklung ist durch die Schrödinger-Gleichung gegeben, ja. Der Hamiltonoperator ist ein Operator und daher an keine bestimmte Basis gebunden. Aus praktischen Gründen sind einige Basen natürlich angenehmer zum Arbeiten als andere.

Obwohl Griffiths dies nicht betont, erhalten Sie beim Lösen der Schrödinger-Gleichung in den typischen Situationen, denen man in diesem Buch begegnet, normalerweise den Zustand, der in Form der Energie-Eigenzustände geschrieben ist, und daher schreiben Sie seinen " Energie-Raum"-Darstellung. Dies ist genauso wie oben, wobei das Beobachtbare der Hamilton-Operator selbst ist.

Ich habe das jedoch nicht verstanden: "Sie können sich das erste als ein inneres Produkt mit einem Impuls-Eigenzustand in der Ortsbasis vorstellen und das letztere als ein inneres Produkt mit einem Orts-Eigenzustand in der Impulsbasis." Kannst du (oder jemand anderes) das etwas genauer erklären? Ein inneres Produkt von was?

Erinnern Sie sich im Zusammenhang mit der Präsentation von Griffiths daran, dass er das Skalarprodukt zweier Positionsraumfunktionen definiert

⟨ F (X) | G (X) ⟩ = \int_{D} F (X)^{*} G (X) D X,

$\langle f(x)|g(x)\rangle = \int_D f(x)^*g(x)\,\mathrm{d}x\text{,}$ Wo

D

$D$ ist die Domäne. Sie können also nach den Eigenfunktionen des Impulsoperators auflösen und (sagen wir)

D = (- \infty, + \infty)

$D = (-\infty,+\infty)$ :

\begin{array}{rcl} \hat{P} F_{P} (X) = - ich ℏ \frac{D F_{P} (X)}{D X} = P F_{P} (X) & ⟺ & F_{P} (X) = \frac{1}{\sqrt{2 π ℏ}} e^{+ ich P X / ℏ} . \end{array}

$\begin{eqnarray*} \hat{p} F_p(x) = -i\hbar\frac{\mathrm{d}F_p(x)}{\mathrm{d}x} = pF_p(x) &\Longleftrightarrow& F_p(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}e^{+ipx/\hbar}\text{.}\end{eqnarray*}$ Sie können also sehen, dass die erste der obigen Fourier-Transformationen einfach ein inneres Produkt ausführt

Φ (P, T) = ⟨ F_{P} (X) | Ψ (X, T) ⟩

$\Phi(p,t) = \langle F_p(x)|\Psi(x,t)\rangle$ der Impuls-Eigenfunktion mit der üblichen Orts-Raum-Wellenfunktion

Ψ (x, t)

$\Psi(x,t)$ . Mit anderen Worten, es ist ein inneres Produkt des Impuls-Eigenzustands

F_{p} (x)

$F_p(x)$ und die Wellenfunktion

Ψ (x, t)

$\Psi(x,t)$ , wobei beide im Positionsraum geschrieben sind.

Die andere Fourier-Transformation ist genau umgekehrt: geschrieben als Impuls, $\hat{x} = +i\hbar\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}p}$ und die Ortseigenfunktionen sind

\begin{array}{rcl} \hat{X} G_{X} (P) = X G_{X} (P) & ⟺ & G_{X} (P) = \frac{1}{\sqrt{2 π ℏ}} e^{- ich P X / ℏ} . \end{array}

$\begin{eqnarray*} \hat{x}G_x(p) = xG_x(p) &\Longleftrightarrow& G_x(p) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}e^{-ipx/\hbar}\text{.}\end{eqnarray*}$

An der Positionsraum-Definition des Skalarprodukts ist nichts Besonderes, außer dass es manchmal praktisch ist. Das innere Produkt funktioniert genauso wie oben in jeder orthonormalen Basis. Es lohnt sich wahrscheinlich, eine euklidische Analogie noch einmal zu betrachten: Wenn Sie dabei sind $\mathrm{E}^n$ mit etwas orthonormaler Basis $\{\hat{e}_k\}$ , können Sie einen beliebigen Vektor schreiben $\hat\psi$ wie in Bezug auf seine Komponenten in dieser Basis unter Verwendung des Skalarprodukts:

\begin{array}{rcl} \hat{ψ} = \sum_{k} {\hat{e}}_{k} ({\hat{e}}_{k} \cdot \hat{ψ}) & ⇝ & | ψ ⟩ = \sum_{k} | k ⟩ ⟨ k | ψ ⟩ = \sum_{k} ψ (k) | k ⟩, \end{array}

$\begin{eqnarray*}\hat\psi = \sum_k \hat{e}_k(\hat{e}_k\cdot\hat\psi) &\leadsto& |\psi\rangle = \sum_k |k\rangle\langle k|\psi\rangle = \sum_k \psi(k) |k\rangle\text{,}\end{eqnarray*}$ Wo

{| k ⟩}

$\{|k\rangle\}$ ist eine orthonormale Basis in unserem Hilbert-Raum. Ein inneres Produkt zweier Zustände ist also:

⟨ ψ | ϕ ⟩ = \sum_{k} ⟨ ψ | k ⟩ ⟨ k | ϕ ⟩ = \sum_{k} ψ (k)^{*} ϕ (k) .

$\langle\psi|\phi\rangle = \sum_k\langle\psi|k\rangle\langle k|\phi\rangle = \sum_k \psi(k)^*\phi(k)\text{.}$ Gegebenenfalls stattdessen ein Integral. Sie müssen jedoch darauf achten, dass Sie den gesamten Hilbert-Raum überspannen, wenn Sie ein inneres Produkt unter Verwendung von Eigenzuständen einer Observablen (gerade Position, z. B. Teilchen mit Spin) erstellen.

Es gibt natürlich zeitabhängige Hamiltonianer, aber ich glaube, das ist der Fall, wenn es ein offenes System gibt. Die Energiebasis ist immer noch bequem, aber sie werden zeitabhängig, ebenso wie die Amplituden.
@carllacan: Wir können das hinzufügen $\psi(a) = \langle a|\psi\rangle$ , ist nur die zu findende Wahrscheinlichkeitsamplitude $a$ , wenn man das Observable misst $A$ auf dem System $|\psi\rangle$ . Und $|\psi(a)|^2 = \langle\psi|a\rangle\langle a|\psi\rangle$ , ist nur die Wahrscheinlichkeit zu finden $a$ , wenn man das Observable misst $A$ auf dem System $|\psi\rangle$ . Das Wort "Wellenfunktion" wird verwendet, wenn $A$ ist der Positionsoperator $X$ oder der Impulsoperator $P$ , aber es ist nur ein Sonderfall der Wahrscheinlichkeitsamplitude, also ist es besser, von Wahrscheinlichkeitsamplitude zu sprechen und das Wort "Wellenfunktion" aufzugeben ...
Danke für deine Antworten. Ich habe das jedoch nicht verstanden: "Sie können sich das erste als ein inneres Produkt mit einem Impuls-Eigenzustand in der Ortsbasis vorstellen und das letztere als ein inneres Produkt mit einem Orts-Eigenzustand in der Impulsbasis." Kannst du (oder jemand anderes) das etwas genauer erklären? Ein inneres Produkt von was? PD: Trimok, hast du vielleicht system statt state geschrieben?

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carllacan

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