Gebundene Zustände und Streuzustände - Zeitabhängige Schrödinger-Gleichung

Question

Gebundene Zustände und Streuzustände - Zeitabhängige Schrödinger-Gleichung

David

Wenn wir ein Quantensystem haben, das durch die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung (TISE) beschrieben wird :

- \frac{ℏ^{2}}{2 M} \frac{D^{2} ψ}{D X^{2}} = E ψ

$\begin{equation} -\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{d^{2} \psi}{d x^{2}}=E \psi \end{equation}$

Wir haben zwei mögliche Arten von Lösungen :

Gebundene Zustände: Das bedeutet Lokalisierung. Stellen diskrete Energiewerte dar, die als Energieniveaus bezeichnet werden. Sind imaginäre Exponentialfunktionen, also oszillierende Funktionen.
Streuzustände: Das bedeutet Bewegung. Teilchenstrahlen darstellen. Sind reelle Exponentialfunktionen, dh abnehmende oder aufsteigende Funktionen.

Aber wenn wir ein Quantensystem haben, das durch die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung (TDSE) beschrieben wird :

ich ℏ \frac{\partial}{\partial T} Ψ (X, T) = [- \frac{ℏ^{2}}{2 M} \frac{\partial^{2}}{\partial X^{2}} + v (X, T)] Ψ (X, T)

$\begin{equation} i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi(x, t)=\left[-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+V(x, t)\right] \Psi(x, t) \end{equation}$

Für das freie Teilchen sind die Lösungen ebene Wellen (oder Überlagerungen von ebenen Wellen, dh Wellenpakete).

Was können wir über seine Lösungen in Bezug auf gebundene und streuende Zustände sagen?
Mithilfe der Fourier-Analyse können wir sicherstellen, dass die Lösungen der TDSE kein Potenzial haben $V(x,t)$ werden ebene Wellen oder Überlagerung von ebenen Wellen sein?

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Gebundene Zustände und Streuzustände - Zeitabhängige Schrödinger-Gleichung

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In der zeitunabhängigen Theorie ist die Unterscheidung wirklich die mathematische Frage, ob das Eigenwertspektrum des Hamilton-Operators kontinuierlich (Streuung) oder diskret (gebunden) ist, was sich wiederum auf die Art der Normalisierung auswirkt, die auf diese Eigenzustände angewendet werden kann. Im Allgemeinen weist das Spektrum eines hermiteschen Operators eine Kombination aus beidem auf (einschließlich der Möglichkeit eines diskreten Zustands im Kontinuum), wofür ein klassisches Beispiel das Wasserstoffatom ist.

Beachten Sie, dass Sie, wenn Sie sich auf einen zeitunabhängigen Hamilton-Operator beschränken, einfach den Ansatz machen können

Ψ (X, T) = ψ (X) T (T)

$\Psi(x,t) = \psi(x)T(t)$

die den TDSE in umwandelt

\frac{\hat{H} ψ (X)}{ψ (X)} = E = ich ℏ \frac{\partial_{T} T (T)}{T (T)}

$\frac{\hat H \psi(x)}{\psi(x)} = E = i\hbar \frac{\partial_t T(t)}{T(t)}$

Wenn Sie dies lösen, erhalten Sie das berühmte Ergebnis, dass sich Energieeigenzustände mit der Zeit entwickeln, indem sie eine energieabhängige Phase akkumulieren. $T(t) = \exp(-iEt/\hbar)$ , Wo $E$ kam von der TISE.

Die vollständig zeitabhängige Theorie ist komplizierter. Wenn der Hamilton-Operator wie bei Ihnen von der Zeit abhängt, bleibt die Energie nicht (lokal) erhalten und die Schrödinger-Gleichung ist nicht trennbar, was eine andere Lösungsmethode erfordert. Es ist schwieriger, Lösungen für diese Gleichung ohne eine gewisse Konkretheit zu kategorisieren, die die Verwendung eines Näherungsschemas ermöglichen würde: Wenn V(t) sich langsam ändert, kann die adiabatische Näherung verwendet werden, wenn V(t) relativ zu anderen Termen schwach ist, zeitabhängige Störungstheorie verwendet werden.

Konzeptionell ist es leicht zu sehen, wie adiabatische (d. h. sehr langsame) Zeitentwicklung einen gebundenen Zustand freigeben kann, zum Beispiel $V(x,t) = \frac{-H(-t) t/\tau }{2}m\omega^2x^2$ . Wir lassen $\tau \gg 1/\omega$ zu sagen, dass V sehr langsam geändert wird.

Wenn $t<0$ , dies ist ein harmonischer Oszillator mit lokalisierten, gebundenen Energieeigenzuständen und einem wohldefinierten Grundzustand, während at $t>0$ das ist ein freies Teilchen.

Dies kann als langsames Ausschalten eines Einfangpotentials angesehen werden, bei dem sich die Wellenfunktion des eingefangenen Teilchens ausdehnt, um schließlich die gesamte reale Linie einzunehmen. Ebenso das Energiespektrum, wenn $t<0$ wird von gegeben $E_n = \hbar\frac{|t|}{\tau}\omega(n+\frac{1}{2}), n\in \mathbb{Z}$ Als $|t| \to 0$ , verdichtet sich das Spektrum zu einem Kontinuumsblock, der einem freien Teilchen entspricht.

Sagen wir $V(x)$ ist das Coulomb-Potential. Ich kann das TDSE lösen und sehen, was mit einem Wellenpaket passiert, das mit diesem Potenzial interagiert. Ich verstehe das als Streulösung der PDE. Aber was ist, wenn ich gebundene Zustandslösungen haben möchte?
Wenn V(x) zeitunabhängig ist (wie ein Wasserstoffatompotential), löst man die TISE, um eine vollständige Lösung für die TDSE der Form zu konstruieren $\sum_E a_E \exp(-iEt/\hbar) \psi_E(x)$ , wobei \psi_E(x) eine Eigenfunktion des Hamiltonoperators und a_E Entwicklungskonstanten sind. Dies funktioniert sowohl für gebundene als auch für Kontinuumslösungen (außer dass im letzteren Fall die Summe ein Integral wird).

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David

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