Quantentunneln mit Deltapotential

Question

Quantentunneln mit Deltapotential

Nachtflug

Ich versuche, eine Animation von Quantum Tunneling wie diese zu erstellen .

Ich habe einiges an QM selbst gelernt, also vergib und korrigiere bitte alle Fehler.

Ich betrachtete die potenzielle Barriere $\alpha \delta(x)$ Wo $\alpha$ ist eine echte Konstante und $\delta$ ist Diracs.

Ich nahm eine Welle an, die von links hereinkommt (nach rechts wandert), die entweder von der Barriere reflektiert wird oder durch die Barriere tunnelt. Das Lösen der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung gab mir

ψ (X) = {\begin{array}{ccc} 1 e^{ich k X} + R e^{- ich k X} & : & X < 0 \\ T e^{ich k X} & : & X > 0 \end{array}

$\psi(x) = \left\{ \begin{array}{ccc} 1\mathrm e^{\mathrm ikx} + R\mathrm e^{-\mathrm ikx} & : & x<0 \\ T\mathrm e^{\mathrm i kx} & : & x > 0 \end{array}\right.$ Wo

k = \frac{\sqrt{2 m E}}{ℏ}

$k = \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}$ . Hier

| R |^{2}

$|R|^2$ gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass die Welle reflektiert und

| T |^{2}

$|T|^2$ die Wahrscheinlichkeit, dass die Welle durch die Barriere tunnelt.

Wir wollen $\psi$ kontinuierlich sein und wir wollen, wie $\varepsilon \to 0^+$ ,

- \frac{ℏ^{2}}{2 M} \int_{- ε}^{ε} \frac{D^{2} ψ}{D X^{2}} D X + a \int_{- ε}^{ε} δ (X) ψ (X) D X = E \int_{- ε}^{ε} ψ (X) D X

$-\frac{\hbar^2}{2m}\int_{-\varepsilon}^{\varepsilon}\frac{\mathrm d^2\psi}{\mathrm dx^2}~\mathrm dx+\alpha\int_{-\varepsilon}^{\varepsilon}\delta(x)\psi(x)~\mathrm dx= E\int_{-\varepsilon}^{\varepsilon}\psi(x)~\mathrm dx$

lim_{ε \to 0} {[\frac{D ψ}{D X}]}_{- ε}^{ε} = \frac{2 M a}{ℏ^{2}} ψ (0)

$\lim_{\varepsilon \to 0}\left[\frac{\mathrm d\psi}{\mathrm dx}\right]_{-\varepsilon}^{\varepsilon} = \frac{2m\alpha}{\hbar^2}\psi(0)$ Die Anwendung dieser Bedingungen gibt mir

R = \frac{a}{2 ich k - a} Und T = \frac{2 ich k}{2 ich k - a}

$R=\frac{\alpha}{2\mathrm ik-\alpha} \ \ \ \mbox{ and } \ \ \ T=\frac{2\mathrm ik}{2\mathrm ik-\alpha}$

ψ (X) = {\begin{array}{ccc} e^{ich k X} + (\frac{a}{2 ich k - a}) e^{- ich k X} & : & X < 0 \\ (\frac{2 ich k}{2 ich k - a}) e^{ich k X} & : & X > 0 \end{array}

$\psi(x) = \left\{ \begin{array}{ccc} \mathrm e^{\mathrm ikx} + \left(\frac{\alpha}{2\mathrm ik-\alpha}\right)\mathrm e^{-\mathrm ikx} & : & x<0 \\ \left(\frac{2\mathrm ik}{2\mathrm ik-\alpha}\right)\mathrm e^{\mathrm i kx} & : & x > 0 \end{array}\right.$

Einschließlich der zeitabhängigen Laufzeit $\varphi(t)=\mathrm e^{-\mathrm iEt/\hbar} = \mathrm e^{-\mathrm ik^2\hbar t/2m}$ gibt

ψ (X) φ (T) = {\begin{array}{ccc} e^{ich k (X + k ℏ T / 2 M)} + (\frac{a}{2 ich k - a}) e^{- ich k (X - k ℏ T / 2 M)} & : & X < 0 \\ (\frac{2 ich k}{2 ich k - a}) e^{ich k (X + k ℏ T / 2 M)} & : & X > 0 \end{array}

$\psi(x)\varphi(t) = \left\{ \begin{array}{ccc} \mathrm e^{\mathrm ik(x+k\hbar t/2m)} + \left(\frac{\alpha}{2\mathrm ik-\alpha}\right)\mathrm e^{-\mathrm ik(x-k\hbar t/2m)} & : & x<0 \\ \left(\frac{2\mathrm ik}{2\mathrm ik-\alpha}\right)\mathrm e^{\mathrm ik(x+k\hbar t/2m)} & : & x > 0 \end{array}\right.$

Ich habe angeschaut $|\psi(x)\varphi(t)|^2$ und das ist unabhängig von $t$ .

Griffiths erwähnt eine lineare Kombination der $\psi(x)\varphi(t)$ , macht aber keine Angaben.

Irgendwelche Ideen?

Jahan Claes

Das Lösen der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung liefert Eigenfunktionen, die sich per Definition nicht mit der Zeit ändern (außer bis zu einer Phase). Das Richtige ist, entweder mit einem anfänglichen Wellenpaket zu beginnen und die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung numerisch zu lösen, oder das Wellenpaket in Bezug auf Ihre Eigenfunktionen Fourier-expandieren.

Nachtflug

@JahanClaes Ich bin mir nicht sicher, was du mit einem Wellenpaket meinst. Ist es das, was wir durch Summieren bekommen

ψ_{k} (x) φ_{k} (t)

$\psi_k(x)\varphi_k(t)$ für

k

$k$ in einem offenen Intervall?

\int_{k \in ICH} F (k) ψ_{k} (X) φ_{k} (T) D k

$\int_{k \in I} f(k)\psi_k(x)\varphi_k(t)~\mathrm dk$ Sie erwähnen die Fourier-Entwicklung. Ich weiß nicht, ob das zusammenhängt, aber falls doch

Ψ (x, 0)

$\Psi(x,0)$ und ich will finden

Ψ (x, t)

$\Psi(x,t)$ dann verwende ich die Fourier-Transformation wie Griffiths auf den Seiten 61 und 62.

Don Volfango

„Elberfeld, W., Kleber, M. (1988) Time‐dependent tunneling through thin barriers: A simple analytics solution. American Journal of Physics, 56. 154-159 doi:10.1119/1.15695“ bietet eine analytische Lösung für den Zeitentwicklungsoperator und Wellenfunktionen zu diesem Problem.

Antworten (1)

Quantentunneln mit Deltapotential

Das Lösen der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung liefert Eigenfunktionen, die sich per Definition nicht mit der Zeit ändern (außer bis zu einer Phase). Das Richtige ist, entweder mit einem anfänglichen Wellenpaket zu beginnen und die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung numerisch zu lösen, oder das Wellenpaket in Bezug auf Ihre Eigenfunktionen Fourier-expandieren.
@JahanClaes Ich bin mir nicht sicher, was du mit einem Wellenpaket meinst. Ist es das, was wir durch Summieren bekommen $\psi_k(x)\varphi_k(t)$ für $k$ in einem offenen Intervall? $\int_{k \in ICH} F (k) ψ_{k} (X) φ_{k} (T) D k$ $\int_{k \in I} f(k)\psi_k(x)\varphi_k(t)~\mathrm dk$ Sie erwähnen die Fourier-Entwicklung. Ich weiß nicht, ob das zusammenhängt, aber falls doch $\Psi(x,0)$ und ich will finden $\Psi(x,t)$ dann verwende ich die Fourier-Transformation wie Griffiths auf den Seiten 61 und 62.
„Elberfeld, W., Kleber, M. (1988) Time‐dependent tunneling through thin barriers: A simple analytics solution. American Journal of Physics, 56. 154-159 doi:10.1119/1.15695“ bietet eine analytische Lösung für den Zeitentwicklungsoperator und Wellenfunktionen zu diesem Problem.

Emilio Pisanty · Answer 1

Wenn Sie etwas bekommen wollten, das sich mit der Zeit ändert, dann haben Sie bei der Suche nach Lösungen für die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung auf dem falschen Fuß angefangen . Die Wellenfunktion, die Sie aufgeschrieben haben, ist eine Eigenfunktion der Hamilton-Funktion, und als solche wird sich keine physikalische Observable jemals mit der Zeit ändern.

Wenn Sie eine Lösung mit einem Wellenpaket konstruieren wollen, das sich tatsächlich bewegt, dann wird das niemals eine Lösung der TISE sein; Stattdessen müssen Sie eine Lösung der zeitabhängigen Schrödinger -Gleichung mit einer geeigneten Anfangsbedingung erstellen und diese dann ausbreiten lassen.

Glücklicherweise haben Sie bereits den größten Teil der erforderlichen Arbeit geleistet, indem Sie die relevanten Kontinuums-Eigenzustände aufgebaut haben $\psi_k(x)$ (und damit ihre zugehörigen TDSE-Lösungen, $e^{-i\hbar k^2 t/2m}\psi_k(x)$ ), und alles, was Sie brauchen, ist, diese zu einem Wellenpaket zusammenzufügen. Normalerweise beginnt man mit einer Gaußschen Zahl links und mit Schwung nach rechts.

ψ_{0} (X, T_{0}) = N \exp (- \frac{1}{2 σ^{2}} (X - X_{0})^{2} + ich P_{0} X),

$\psi_0(x,t_0) = N \exp\left(-\frac{1}{2\sigma^2}(x-x_0)^2+ip_0x\right),$ Zerlegen Sie das über eine Fourier-Transformation in eine Summe ebener Wellen, erweitern Sie diese ebenen Wellen in die gefundenen Barriere-Eigenzustände, fügen Sie die zeitabhängige Phase hinzu und führen Sie dann die Fourier-Transformation zurück in den Positionsraum durch.

Nebenbei; Die Chancen stehen gut, dass es Ihnen schwer fallen wird, am Ende von all dem eine nette handhabbare elementare Lösung für Ihre zeitabhängige Wellenfunktion zu finden. Ich habe so etwas schon einmal versucht, und die Integrale wurden ziemlich chaotisch und schwierig zu handhaben. Es war ehrlich gesagt schneller für mich, Ahorn zu verwenden, um die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung numerisch zu lösen und das Delta-Potential mit einem Gaussian mit scharfer Spitze zu approximieren.
Danke für deine Antwort. Wie Sie sagen, sind meine Eigenfunktionen keine physikalischen Zustände - sie sind nicht normierbar. Griffiths (auf Seite 75) weist darauf hin und sagt weiter, dass wir lineare Kombinationen dieser Zustände erstellen müssen. Ich dachte, dass es vielleicht ein Integral über einen kurzen Bereich von sein würde $k$ Werte, sprich $\int_{K - ε}^{K + ε} F (k) ψ_{k} (X) φ_{k} (T) e^{ich X k} D k$ $\int_{K-\varepsilon}^{K+\varepsilon} f(k)\psi_k(x)\varphi_k(t)\mathrm e^{\mathrm ixk}~\mathrm dk$ Wahrscheinlich liege ich aber total falsch!
@chuxley Wie denkst du wurde die Animation gemacht? upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/3f/…
Zweite Frage bitte Emilio: Können Sie nach Ihrem ersten Absatz eine gute Referenz für alles empfehlen? Ich lese Griffiths und habe das Wort Wellenpaket gesehen, aber ich bin nicht sehr zuversichtlich damit.
Wenn ich raten müsste, würde ich sagen, es war eine numerische Simulation. Ich habe ein Java-Programm, das ich irgendwann heruntergeladen habe und das etwas Ähnliches getan hat. Google "Phet-Quanten-Tuning". Das Java-Applet selbst ermöglicht es Ihnen, die Breite und Höhe einer rechteckigen Potentialbarriere zu ändern. Machen Sie die Breite klein und die Höhe groß, um sich einem Delta-Potential anzunähern. In Ihrem obigen Integral dürfen Sie die zeitabhängigen Faktoren nicht vergessen. Ich bin mir ziemlich sicher, dass Sie das e ^ (i * E (k) * t / h) angeben müssen. Ich werde sehen, ob ich die Fourier-Transformationen später durcharbeiten kann, wenn ich von der Arbeit nach Hause komme.
@Fly by Night - physicalpages.com/2012/07/28/free-particle-gaussian-wave-packet . Hier ist eine gute Website mit einer Reihe häufiger QM-Probleme, die Ihnen wahrscheinlich gefallen würden. Der Link hier spricht über die Konstruktion eines Gaußschen Wellenpakets für ein freies Teilchen. Ich würde mit solchen Sachen anfangen, bevor ich mich damit befasse, Wellenpakete für Teilchen in einem Potential zu konstruieren. Ich habe versucht, dir den Link per PN zu schicken, aber ich konnte nicht herausfinden, wie (ich weiß, dass Kommentare nicht für längere Gespräche geeignet sind - sorry :).
@FlybyNight Eine gute Referenz ist David Tannors Quantenmechanik: eine zeitabhängige Perspektive .

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