Berechnung der Übertragungswahrscheinlichkeit einer Wellenfunktion zwischen zwei Deltaverteilungen

Question

Berechnung der Übertragungswahrscheinlichkeit einer Wellenfunktion zwischen zwei Deltaverteilungen

Gamma

Gegeben ist das Potenzial: $V(x) = \frac{-\hbar^2}{m}D\delta(x+a) - \frac{-\hbar^2}{m} D\delta(x-a)$ mit $a >0$ Und $D > 0$ . Ein Teilchenstrom vom Positiv $x$ -Achse in Richtung Potential fallen und ich möchte die Übertragungswahrscheinlichkeit berechnen. Ich bräuchte Hilfe bei den Randbedingungen. Mein Ansatz ist: $\psi_1(x) = Ae^{ikx}+Be^{-ikx}$ für die ankommende Welle, $\psi_2(x) =Ce^{ikx}+De^{-ikx}$ für die Welle zwischen den Deltaverteilungen und $\psi_3(x) = Ee^{ikx}+Fe^{-ikx}$ für die Wellenfunktion $\psi > a$ mit $F = 0$ . Das sind meine bisherigen Konditionen: $\psi_1(-a) = \psi_2(-a)$ $\psi_2(a) = \psi_3(a)$ Was sind die anderen Bedingungen? Ich dachte daran, zuerst die Transfermatrix zu berechnen und danach die Transmission.

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ndrearu · Answer 1

Ok dein Ansatz zur Form der $\psi$ . Jetzt kommen die anderen Bedingungen, die Sie brauchen, von der Diskontinuität der Ableitung durch das Delta-Potential. Nimmt man die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung und integriert sie um ein Delta (siehe zum Beispiel hier für die Schritte), dann lässt sich zeigen, dass bei einem Potential wie $V(x)=\gamma\delta(x-x_0)$ die Ableitung muss eine durch gegebene Diskontinuität besitzen

{\frac{D ψ}{D X} |}_{X \to X_{0}^{+}} - {\frac{D ψ}{D X} |}_{X \to X_{0}^{-}} = \frac{2 M γ}{ℏ^{2}} ψ (X_{0})

$\left.\frac{d\psi}{dx}\right|_{x\to x_0^+} - \left.\frac{d\psi}{dx}\right|_{x\to x_0^-} = \frac{2m\gamma}{\hbar^2}\psi(x_0)$ in Ihrem Fall

| γ | = D ℏ^{2} / m

$|\gamma|=D\hbar^2/m$ und damit für die beiden

δ

$\delta$ hast du

{\frac{D ψ}{D X} |}_{X \to - A^{+}} - {\frac{D ψ}{D X} |}_{X \to - A^{-}} = - 2 D ψ (- A)

$\left.\frac{d\psi}{dx}\right|_{x\to -a^+} - \left.\frac{d\psi}{dx}\right|_{x\to -a^-} = -2D\psi(-a)$ Und

{\frac{D ψ}{D X} |}_{X \to + A^{+}} - {\frac{D ψ}{D X} |}_{X \to + A^{-}} = + 2 D ψ (+ A)

$\left.\frac{d\psi}{dx}\right|_{x\to +a^+} - \left.\frac{d\psi}{dx}\right|_{x\to +a^-} = +2D\psi(+a)$

Da Sie 6 Konstanten haben $A,B,\dots,F$ Um festzustellen, diese 2 Bedingungen plus die 2, die Sie geschrieben haben, plus die $F=0$ bleibt uns nur noch ein freier Parameter, der in die Berechnung der Reflexions- und Transmissionswahrscheinlichkeiten eingehen sollte.

Edit: in der letzten Zeile habe ich ursprünglich falsch geschrieben $\psi(-a)$ anstatt $\psi(+a)$ , jetzt ist es korrigiert.

Warum hast du $+2D(-a)$ Wenn $/gamma$ Ist $\frac{-D\hbar^2}{m}$ ? Wenn ich versuche, das zu lösen, bekomme ich $A = -Be^{2ika}$ kannst du das bestätigen? Ich bekomme $B=D$ Und $A=C$ indem ich die Koeffizienten gleichsetze und ich bin mir nicht ganz sicher, ob dies erlaubt ist. Ich bin mir auch nicht sicher welche $\psi$ Sie meinen nach dem Gleichheitszeichen, wenn Sie sagen $\frac{d\psi}{dx}_{x\rightarrow a^+}-\frac{d\psi}{dx}_{x\rightarrow a^-} = -2D\psi(-a)$ Eigentlich dachte ich, ich kann mir aussuchen, welchen Ansatz ich dafür mag $\psi$ .
Ich habe mich entschuldigt vertippt: in der letzten Zeile steht a $+$ und nicht ein $-$ Zeichen, damit es ist $+2D\psi(+a)$ . Wahrscheinlich sind die Ergebnisse, die Sie gefunden haben, darauf zurückzuführen. Ich werde die Antwort korrigieren.
Aber ich verstehe immer noch nicht, warum es so ist $+2D\psi(a)$ anstatt $-2D\psi(a)$ ?
Bei dem von dir geschriebenen Potential steht zwischen den Deltas ein Minus, also wiederum das Minus davor $\delta(x-a)$ gibt ein $+$ in der Diskontinuität.

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Gamma

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