So lösen Sie die Schrödinger-Gleichung - Tunnelbau

Question

So lösen Sie die Schrödinger-Gleichung - Tunnelbau

Luca82

Ich muss die Schrödinger-Gleichung eindimensional mit einer Potentialbarriere (Tunneleffekt) analytisch lösen:

ich H \frac{D}{D T} U (X, T) = [(- ℏ^{2} \frac{D^{2}}{D X^{2}}) + Q v (X)] U (X, T)

$ih \frac{d}{dt} U(x,t) = \left[ \left(-\hbar^2 \frac{d^2}{dx^2} \right) + q V(x) \right] U(x,t)$

Wo: $i$ ist die imaginäre Einheit, ( $d/dt$ ) ist die Zeitableitung, $\hbar$ ist die reduzierte Plank-Konstante, ( $d^2/dx^2$ ) ist die zweite räumliche Ableitung, $V(x)$ ist eine externe Potentialfunktion von $x$ , $U(x,t)$ ist die Wellenfunktion von Zeit und Ort. Die Potentialbarriere ist:

v (X) = {\begin{cases} 0, & Wenn - D < X < - L \\ v_{0}, & Wenn - L < X < L \\ 0, & Wenn L < X < D \end{cases}

$V(x) = \begin{cases} 0, & \mbox{if } -d<x<-L \\ V_0, & \mbox{if } -L<x<L \\ 0, & \mbox{if } L<x<d \end{cases}$

mit $d=10L$ Und $V_0>0$ ; Auch die Randbedingungen sind: $U(-d,t)=U(d,t)=0$ ; und die Anfangsbedingung ist

U (X, T_{0}) = \frac{1}{\sqrt{D X}} \exp (ich P_{0} \frac{X}{ℏ})

$U(x,t_{0})=\frac{1}{\sqrt{Dx}} \exp \left(i P_0 \frac{x}{\hbar} \right)$

Wenn $-d<x<-d+Dx$ Und $U(x,t_{0})=0$ Wenn $-d+Dx<x<d$ ; Wo $Dx<<L$ Und $P_0$ ist das Quantenmoment bei t0. Auch das kenne ich zur Zeit $t_0$ , die Fourier-Transformation von $U(x,t_{0})$ ist ein sinc, das in zentriert ist $P_0$ , ist der aspektierte Wert der Position $-d+Dx/2$ und der aspektierte Wert der Geschwindigkeit ist $P_0/m$ , Wo $m$ ist die Masse des Teilchens.

Dann muss ich analytische Ergebnisse mit Ergebnissen aus der FINITE-ELEMENTE- und der FINITE-DIFFERENZ-Methode vergleichen.

Ich hoffe, dass mir jemand helfen kann, dieses Problem zu lösen.

Alexander

Willkommen luca82 bei physics.SE! Im Moment gibt es in Ihrem Text nicht wirklich eine Frage. Vielleicht könntest du ein bisschen erläutern, was du bereits versucht hast und wo du hängen geblieben bist. Niemand hier wird Hausaufgaben/Aufgaben lösen, aber viele Leute sind mehr als bereit zu helfen.

dmckee --- Ex-Moderator-Kätzchen

Dies scheint weitgehend von Ihrer Aufgabe übernommen worden zu sein, was uns zu einigen Fragen an Sie bringt. Was hast du getan? Was verstehst du hier, was verstehst du nicht ? Wo genau steckst du fest? Insbesondere sehe ich mindestens drei Möglichkeiten, um zu versuchen, das aufgeführte Problem zu lösen – sicherlich konnten Sie bei einigen von ihnen einige Fortschritte erzielen.

Emilio Pisanty

versuche \hbar:

ℏ

$\hbar$

Emilio Pisanty

Sie sollten vorsichtig sein: Je nachdem, ob die Lösungen sehr unterschiedlich sein werden

P_{0}^{2}

$P_0^2$ ist größer als

q V_{0}

$qV_0$ oder nicht.

Antworten (1)

So lösen Sie die Schrödinger-Gleichung - Tunnelbau

Willkommen luca82 bei physics.SE! Im Moment gibt es in Ihrem Text nicht wirklich eine Frage. Vielleicht könntest du ein bisschen erläutern, was du bereits versucht hast und wo du hängen geblieben bist. Niemand hier wird Hausaufgaben/Aufgaben lösen, aber viele Leute sind mehr als bereit zu helfen.
Dies scheint weitgehend von Ihrer Aufgabe übernommen worden zu sein, was uns zu einigen Fragen an Sie bringt. Was hast du getan? Was verstehst du hier, was verstehst du nicht ? Wo genau steckst du fest? Insbesondere sehe ich mindestens drei Möglichkeiten, um zu versuchen, das aufgeführte Problem zu lösen – sicherlich konnten Sie bei einigen von ihnen einige Fortschritte erzielen.
Sie sollten vorsichtig sein: Je nachdem, ob die Lösungen sehr unterschiedlich sein werden $P_0^2$ ist größer als $qV_0$ oder nicht.

Mischa · Answer 1

Ohne vollständige Lösung, nur eine Roadmap. Im Prinzip gibt es einen Standardweg, wie solche Probleme gelöst werden.

Zuerst stationäres Problem lösen:

[(- H^{2} \frac{D^{2}}{D X^{2}}) + Q v (X)] U_{ich} (X) = E_{ich} U (X) .

$\left[ \left(-h^2 \frac{d^2}{dx^2} \right) + q V(x) \right] U_i(x) = E_i U(x).$ Solange das Potential symmetrisch ist, würde ich empfehlen, dies zu verwenden und nach geraden und ungeraden Lösungen zu suchen. Für

E < V_{0}

$E<V_0$

U_{ich +} (X) = {\begin{cases} A \cos k (| X | - X_{0}), & Wenn L < | X | < D \\ B C H ϰ X, & Wenn - L < X < L \end{cases},

$U_{i+}(x) = \begin{cases} A\cos{k(|x|-x_0)}, & \mbox{if } L<|x|<d \\ B\mathrm{ch}{\varkappa x}, & \mbox{if } -L<x<L \\ \end{cases},$

U_{ich -} (X) = {\begin{cases} A Sünde k (| X | - X_{0}), & Wenn L < | X | < D \\ B S H ϰ X, & Wenn - L < X < L \end{cases}

$U_{i-}(x) = \begin{cases} A\sin{k(|x|-x_0)}, & \mbox{if } L<|x|<d \\ B\mathrm{sh}{\varkappa x}, & \mbox{if } -L<x<L \\ \end{cases}$ mit

k = \sqrt{\frac{2 m E}{ℏ^{2}}}

$k=\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}$ ,

ϰ = \sqrt{\frac{2 m (V_{0} - E)}{ℏ^{2}}}

$\varkappa = \sqrt{\frac{2m(V_0-E)}{\hbar^2}}$

Für Energien oben $V_0$ Ersetzen Sie hyperbolische Funktionen durch $\cos{k_2x}$ , $\sin{k_2x}$ mit $k=\sqrt{\frac{2m(E-V_0)}{\hbar^2}}$ .

Wenn Sie diese Funktionen in eine Gleichung einsetzen, erhalten Sie eine Gleichung für Energie. Beachten Sie, dass Sie sich nur um die Randbedingungen kümmern sollten, solange diese Form von Funktionen automatisch die Gleichung in den Bereichen mit konstantem Potenzial erfüllt. Lösen Sie diese Gleichung und erhalten Sie ein Spektrum $\left\{ E_{i\pm} \right\}_{i=1}^{\infty}$ und Wellenfunktionen $U_i(x)$ . Offensichtlich haben diese Lösungen sehr nette Eigenschaften, wenn man ein nicht-stationäres Problem betrachtet:

U_{ich} (X, T) = e^{- ich \frac{ℏ}{E_{ich}} T} U_{ich} (X),

$U_i(x,t)=e^{-i\frac{\hbar}{E_i} t}U_i(x),$ was bedeutet, dass, wenn Sie Ihre Anfangsbedingung in diese Lösungen zerlegen (was Sie tun können, weil die Eigenfunktionen eines hermiteschen Operators ein vollständiger Satz sind)

U (X, T_{0}) = \sum_{1}^{\infty} C_{ich} U_{ich} (X)

$U(x,t_0) = \sum_1^{\infty} C_i U_i(x)$ dann ist die Zeitentwicklung der Wellenfunktion gegeben durch

U (X, T) = \sum_{1}^{\infty} C_{ich} U_{ich} (X) e^{- ich \frac{ℏ}{E_{ich}} T}

$U(x,t) = \sum_1^{\infty} C_i U_i(x) e^{-i\frac{\hbar}{E_i} t}$

Wenn man eine analytische Lösung des Problems braucht, wird das Fehlen von elementaren Ausdrücken für die Energien (die Wurzeln einer transzendentalen Gleichung sein werden, sollte ich denken) diesem Ansatz nicht ernsthaft schaden? Ohne Hoffnung auf eine Bewertung der Summe handelt es sich wohl um eine halbnumerische, spektrale Methode zur Lösung des Anfangswertproblems
@episanty Nein, wird es nicht. Es besteht ein enormer Unterschied zwischen dem Lösen transzendenter Gleichungen und dem numerischen Finden von Lösungen von Differentialgleichungen. Das erste wird analytisch genannt, das zweite nicht. Jedenfalls gibt es keine bessere Lösung.
Ja, es ist klar, dass es keine bessere Lösung gibt und dass die Finite-Elemente- und die Finite-Differenzen-Methode insgesamt auf einer anderen Skala liegen. Mein Punkt war, dass ich dies nur ungern als vollständig analytische Lösung bezeichnen möchte, da jeder Versuch, es zu visualisieren (und mit jeder anderen Methode zu vergleichen), numerische Arbeit (auf dieser Seite) beinhalten wird.
Sicher, man kann eine explizite (aber nicht elementare!) Formel für die Lösung aufschreiben, wie es kein Existenzsatz geben kann. Ich sehe jedoch starke Parallelen zwischen dieser Lösung und numerischen Spektralmethoden - diese hat einfach einen besonders gut gewählten spektralen Basissatz, und die Fortpflanzung einer beliebigen Basisfunktion ist (zumindest in einem vernünftigen numerischen Sinne) äquivalent zur Lösung der transzendentalen Gleichung.
@episanty, es gibt ein Missverständnis in Ihrer Sichtweise. Sie könnten die gleichen Argumente vorbringen, wenn die Lösung logarithmische oder Bessel-Funktionen oder eine andere nicht triviale Funktion wäre: Sie hätten auch in diesem Fall einen Computer verwenden müssen, um die Zahlen zu erhalten. Nennen Sie einfach die Lösung dieser transzendenten Gleichung eine neue Funktion, sagen wir, $Q_n(e)$ und es wird nicht viel anders sein als Bessel- oder Hankel-Funktionen, die auch im Taschenrechner schwer zu finden sind.
Ja, aber andererseits sind Exponentiale, Logarithmen und Sinus im Grunde alle Lösungen von Differentialgleichungen, die ungefähr so schwer zu berechnen sind wie Bessel- oder Hankel-Funktionen. Am Ende ist es eine Sache der Nomenklatur: Wo hört man auf, eine Methode "analytisch" zu nennen, und wo beginnt "numerisch"? Ich denke, das ist eine subjektive Frage, die nicht in der Mathematik liegt, sondern eher im Mathematiker (oder Physiker!).
Etwas OP, aber ich erinnere mich, dass ich ein Papier gelesen habe, das die Lösung einer ODE als einige hypergeometrische Funktionen ausdrückte. Das Problem ist, dass, da die hypergeometrischen Funktionen am besten durch numerische Integration der definierenden ODE ausgewertet werden, es nicht wirklich viel geholfen hat ...

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Luca82

Alexander

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